Complément : émission spontanée et loi de Planck

Introduction à la physique du laser · niveau 2

Énoncé

Complément : la loi de Planck n'est pas au programme ; elle est fournie. À l'équilibre thermique à la température $T$ , la densité spectrale d'énergie du rayonnement vaut $u (ν) = \frac{8 π h ν ^{3}}{c ^{3}} \frac{1}{e ^{h ν / k_{B} T} - 1}$ . À $T = 300 K$ , comparer les taux d'émission spontanée et stimulée pour une transition visible ( $λ_{0} = 600 nm$ ) éclairée par le rayonnement thermique. Conclure sur ce qu'il faut réaliser dans un laser.

Corrigé

Le rapport des taux vaut $\frac{A _{21} N _{2}}{B _{21} u N _{2}} = \frac{A _{21}}{B _{21} u ( ν _{0} )}$ . Avec la relation d'Einstein $A_{21} / B_{21} = 8 π h ν_{0}^{3} / c^{3}$ et la loi de Planck, $B_{21} u = A_{21} / (e^{h ν_{0} / k_{B} T} - 1)$ , donc

$\frac{A _{21}}{B _{21} u} = e^{h ν_{0} / k_{B} T} - 1.$

Or $h ν_{0} = h c / λ_{0} = \frac{6 , 63 \times 1 0 ^{- 34} \times 3 \times 1 0 ^{8}}{6 \times 1 0 ^{- 7}} \approx 3.3 \times 1 0^{- 19} J$ , et $k_{B} T \approx 1, 38 \times 1 0^{- 23} \times 300 \approx 4.1 \times 1 0^{- 21} J$ . Ainsi $h ν_{0} / k_{B} T \approx 80$ , et $e^{80} \sim 1 0^{35}$ : l'émission spontanée est $1 0^{35}$ fois plus probable que l'émission stimulée par le rayonnement thermique.

Pour qu'un laser fonctionne, l'émission stimulée doit l'emporter : il faut une densité d'énergie du rayonnement à $ν_{0}$ énormément supérieure à celle de l'équilibre thermique. Ce rayonnement est celui du faisceau lui-même, que l'émission stimulée renforce à chaque passage dans le milieu. Encore faut-il qu'il soit amplifié et non absorbé : c'est le rôle du pompage, qui entretient l'inversion $N_{2} > N_{1}$ . Les deux conditions sont distinctes : le pompage peuple le niveau haut, il ne fournit pas les photons du faisceau.