Deux niveaux ne suffisent pas : Boltzmann, puis le pompage optique

La stratégie. Deux scénarios, une même conclusion. À l'équilibre, le facteur de Boltzmann est toujours inférieur à $1$. Hors d'équilibre, si l'on peuple le niveau haut avec la lumière même de la transition, l'émission stimulée qu'elle provoque vide ce niveau aussi vite qu'il se remplit.

1) Boltzmann. $E_2-E_1=\frac{hc}{\lambda }=\frac{6,626\times 10^{-34}\times 2,998\times 10^8}{632,8\times 10^{-9}}=3,14\times 10^{-19}\mathrm{J}=1,96\mathrm{eV}$. À $300\mathrm{K}$, $k_{B}T=4,14\times 10^{-21}\mathrm{J}=0,0259\mathrm{eV}$, et $$\frac{N_2}{N_1}=\exp \left(-\frac{1,96}{0,0259}\right)={\mathrm{e}}^{-75,8}=1,2\times 10^{-33}.$$ Dans un litre de gaz, qui compte quelque $10^{22}$ atomes, aucun n'est excité. À $5800\mathrm{K}$, $N_2/N_1={\mathrm{e}}^{-3,92}=2,0\times 10^{-2}$ : même à la surface du Soleil, deux atomes pour cent seulement. Pour $N_2/N_1=0,5$ : $$T=\frac{E_2-E_1}{k_B\ln 2}=\frac{3,14\times 10^{-19}}{1,381\times 10^{-23}\times 0,693}=3,3\times 10^4\mathrm{K}.$$ Comme $E_2>E_1$ et $T>0$, l'exposant est négatif et $N_2/N_1<1$ à toute température ; il ne tend vers $1$ que pour $T\to \infty$. Jamais un milieu à l'équilibre thermique n'est inversé, donc jamais il n'amplifie.

2) Le système à deux niveaux pompé par la lumière. Le niveau haut gagne les atomes qui absorbent ($+Bu{N}_1$), perd ceux qui se désexcitent par émission stimulée ($-Bu{N}_2$) et ceux qui se désexcitent spontanément ($-A{N}_2$) ; l'égalité $B_{12}=B_{21}$ réunit les deux premiers termes en $Bu(N_1-N_2)$. En régime stationnaire, $$Bu{N}_1=(Bu+A)N_2⟹\boxed{\frac{N_2}{N_1}=\frac{Bu}{Bu+A}=\frac{s}{1+s}<1}.$$ Pour $s=1$, $N_2/N_1=0,5$ ; pour $s=100$, $0,99$ ; le rapport tend vers $1$ quand $s\to \infty$ sans jamais l'atteindre. Éclairer plus fort ne sert à rien : plus $u$ est grand, plus l'émission stimulée, proportionnelle à $u$ comme l'absorption, ramène d'atomes vers le bas. La différence $N_1-N_2$ s'amenuise mais reste positive.

3) La vapeur blanchit. Avec $N_1+N_2=N$ et $N_2=\frac{s}{1+s}{N}_1$ : $N_1=\frac{1+s}{1+2s}N$, $N_2=\frac{s}{1+2s}N$, et $$N_1-N_2=\frac{N}{1+2s}.$$ Sous éclairement faible ($s\ll 1$), $N_1-N_2\approx N$. La puissance absorbée par atome et par unité d'intensité incidente, proportionnelle à $B(N_1-N_2)/N$, est donc divisée par $1+2s$ : l'absorption sature.

4) La vapeur de sodium sous le laser. Avec $s=13,3$ : $$\frac{N_2}{N_1}=\frac{13,3}{14,3}=0,93,\frac{N_1-N_2}{N}=\frac{1}{1+2\times 13,3}=0,036.$$ La vapeur n'absorbe plus que $3,6\%$ de ce qu'elle absorbait sous un éclairement faible : elle est devenue presque transparente. Mais $N_1-N_2$ reste positif : un faisceau qui la traverse est encore (un peu) absorbé, jamais amplifié. Le phénomène sert en spectroscopie (on « creuse » ainsi l'absorption d'une vapeur), pas à faire un laser.

5) Il faut un niveau de plus. Le défaut du système à deux niveaux est que le rayonnement de pompe est à la fréquence même de la transition : il stimule l'émission autant qu'il provoque l'absorption ($B_{12}=B_{21}$). Pour peupler le niveau haut sans que la pompe le vide, il faut pomper sur une autre transition : porter les atomes vers un troisième niveau, d'où ils tombent rapidement sur le niveau haut de la transition laser. Trois niveaux au moins sont nécessaires ; on verra qu'un quatrième facilite beaucoup les choses.

Ce que l'exercice installe. À l'équilibre, le niveau haut est toujours le moins peuplé, à toute température. Éclairer un système à deux niveaux le rend au mieux transparent, jamais amplificateur, car l'émission stimulée vide le niveau haut que l'absorption remplit : c'est la preuve de ce que le cours affirme. L'inversion de population est un état hors d'équilibre, qui demande un pompage sur une autre transition, donc un niveau de plus.