Intensité sur l'axe d'un faisceau gaussien, $I(0,z)=I_0{w}_0^2/w(z{)}^2$

1. On découpe le plan d'abscisse $z$ en couronnes de surface $2\pi r\mathrm{d}r$ :

$$\mathcal{P}={\int }_0^{\infty }I(0,z){\mathrm{e}}^{-2r^2/w(z{)}^2}2\pi r\mathrm{d}r=2\pi I(0,z){\left[-\frac{w(z{)}^2}{4}{\mathrm{e}}^{-2r^2/w(z{)}^2}\right]}_0^{\infty }=\frac{\pi w(z{)}^2}{2}I(0,z).$$

Sans perte, $\mathcal{P}$ est la même dans tous les plans : $I(0,z)w(z{)}^2=I_0{w}_0^2$, d'où

$$I(0,z)=I_0\frac{w_0^2}{w(z{)}^2}=\frac{I_0}{1+(z/z_R{)}^2}.$$

L'intensité sur l'axe baisse parce que la même puissance se répartit sur une tache plus large.

2. La courbe est une cloche (une lorentzienne) centrée sur le waist, de demi-largeur à mi-hauteur $z_R$ : en $z=\pm z_R$, $w=\sqrt{2}{w}_0$, la tache a doublé de surface et $I(0,\pm z_R)=I_0/2$. Sur la longueur $2z_R$, le faisceau est quasi cylindrique et l'intensité sur l'axe reste comprise entre $I_0/2$ et $I_0$. Pour $\left|z\right|\gg z_R$,

$$I(0,z)\simeq I_0\frac{z_R^2}{z^2}=\frac{2\mathcal{P}}{\pi w_0^2}\frac{{\pi }^2{w}_0^4}{{\lambda }^2{z}^2}=\frac{2\pi \mathcal{P}{w}_0^2}{{\lambda }^2{z}^2}.$$

Loin du waist, le faisceau est un cône de demi-angle $\theta =\lambda /(\pi w_0)$ : $w(z)\simeq \theta z$, la puissance se répartit sur une surface proportionnelle à $z^2$, comme pour une source ponctuelle, d'où la loi en $1/z^2$.

3. $I_0=\frac{2\mathcal{P}}{\pi w_0^2}=\frac{2\times 2,0\times 10^{-3}}{\pi \times (4,0\times 10^{-4}{)}^2}\approx 8.0\times 10^{3}W.m^{-2}$, huit fois l'éclairement solaire ; $z_R=\frac{\pi w_0^2}{\lambda }\approx 0.79m$. À $z=10m$, $1+(z/z_R{)}^2\approx 160$ et $I(0,z)\approx 50W.m^{-2}$ ; à $100m$, $I(0,z)\approx 0.50W.m^{-2}$ : la loi en $1/z^2$ est atteinte, dix fois plus loin, cent fois moins. L'intensité sur l'axe passe sous $10W.m^{-2}$ quand $1+(z/z_R{)}^2>I_0/(10W.m^{-2})\approx 796$, soit au-delà de $z=z_R\sqrt{795}\approx 22m$. Un faisceau de quelques milliwatts reste donc éblouissant à l'échelle d'une salle, ce qui justifie les consignes de sécurité.