physique des ondes 2 (PC) · Chapitre 4 · Application directe du cours

L'élargisseur de Galilée d'un laser de puissance

Introduction à la physique du laser · niveau 2

Énoncé

Un laser $Nd : YAG$ ( $λ = 1064 nm$ ) émet des impulsions de $100 m J$ et de $10 n s$ , dans un faisceau gaussien quasi cylindrique de rayon $W_{1} = 3.0 mm$ . Pour réduire sa divergence avant de l'envoyer au loin, on l'élargit avec deux lentilles minces de même axe, utilisées dans les conditions de Gauss.

Élargisseur de Galilée. Une lentille divergente $L_{1}$ , de focale $f_{1}^{'} = - 25 mm$ , est suivie d'une lentille convergente $L_{2}$ , de focale $f_{2}^{'} = 100 mm$ , placée de sorte que le foyer image $F_{1}^{'}$ de $L_{1}$ coïncide avec le foyer objet $F_{2}$ de $L_{2}$ . Quelle est la distance entre les lentilles ? En suivant un rayon incident parallèle à l'axe, montrer que le faisceau émergent est cylindrique, de rayon $W_{2} = \frac{f _{2}^{'}}{∣ f _{1}^{'} ∣} W_{1}$ . Calculer $W_{2}$ .
Calculer la divergence $θ = λ / (π W)$ et la longueur de Rayleigh avant et après l'élargisseur, puis le rayon du faisceau à $1 k m$ dans les deux cas (le waist est à la sortie de l'élargisseur).
Un élargisseur de Kepler de même grandissement associe deux lentilles convergentes, de focales $25 mm$ et $100 mm$ , à foyers confondus. Quelle est sa longueur ? Le faisceau y passe par un foyer réel : estimer le rayon du waist qui s'y forme et la puissance surfacique crête sur l'axe. L'air s'ionise (claquage) au-delà d'environ $1 \times 1 0^{15} W . m^{- 2}$ pour des impulsions nanosecondes à cette longueur d'onde (donnée). Conclure.

Corrigé

1. $O_{1} O_{2} = O_{1} F_{1}^{'} + F_{2} O_{2} = f_{1}^{'} + f_{2}^{'} = - 25 + 100 = 75 mm$ . Un rayon incident parallèle à l'axe, à la hauteur $W_{1}$ , émerge de la lentille divergente comme s'il venait du foyer image $F_{1}^{'}$ , virtuel, situé à $25 mm$ avant $L_{1}$ . Pour $L_{2}$ , ce rayon a un support qui passe par son foyer objet $F_{2} = F_{1}^{'}$ : il émerge parallèle à l'axe. Le théorème de Thalès, dans les triangles de sommet $F_{1}^{'}$ , donne

$\frac{W _{2}}{W _{1}} = \frac{F _{1}^{'} O _{2}}{F _{1}^{'} O _{1}} = \frac{f _{2}^{'}}{∣ f _{1}^{'} ∣} = 4, W_{2} = 12 mm .$

Tous les rayons incidents parallèles ressortent parallèles : le faisceau émergent est cylindrique, quatre fois plus large, et non inversé.

2. Avant : $θ_{1} = \frac{λ}{π W _{1}} = \frac{1 , 064 \times 1 0 ^{- 6}}{π \times 3 , 0 \times 1 0 ^{- 3}} \approx 1.1 \times 1 0^{- 4} r a d$ , $z_{R 1} = \frac{π W _{1}^{2}}{λ} \approx 27 m$ . Après : $θ_{2} = θ_{1} /4 \approx 2.8 \times 1 0^{- 5} r a d$ et $z_{R 2} = 16 z_{R 1} \approx 425 m$ . À $z = 1 k m$ , avec $w (z) = W 1 + (z / z_{R})^{2}$ : sans élargisseur, $w \approx 3, 0 \times 37, 6 \approx 113 mm$ ; avec, $w \approx 12 \times 2, 56 \approx 31 mm$ . Élargir le faisceau d'un facteur $4$ divise sa divergence par $4$ et multiplie sa longueur de Rayleigh par $16$ : c'est le rôle de l'élargisseur, comme celui d'un télescope employé à l'envers.

3. L'élargisseur de Kepler mesure $25 + 100 = 125 mm$ : le montage de Galilée est plus court de deux fois la focale de la petite lentille. Dans le Kepler, le faisceau cylindrique de rayon $W_{1}$ est focalisé par la lentille de $25 mm$ ; le waist intermédiaire a pour rayon

$w_{0}^{'} ≃ \frac{λ f ^{'}}{π W _{1}} = \frac{1 , 064 \times 1 0 ^{- 6} \times 0 , 025}{π \times 3 , 0 \times 1 0 ^{- 3}} \approx 2.8 μ m .$

La puissance crête vaut $P = 0.100 J /10 n s = 1.0 \times 1 0^{7} W$ ; sur l'axe, au foyer, $I_{0}^{'} = \frac{2 P}{π w _{0}^{'2}} \approx 8 \times 1 0^{17} W . m^{- 2}$ , près de mille fois le seuil de claquage (à l'entrée, $2 P / (π W_{1}^{2}) \approx 7 \times 1 0^{11} W . m^{- 2}$ restait loin en dessous). L'air s'ionise au foyer : une étincelle absorbe et diffuse l'impulsion. Dans le montage de Galilée, le foyer $F_{1}^{'}$ est virtuel : le faisceau ne fait que s'élargir, sans jamais se concentrer. C'est l'élargisseur des lasers impulsionnels de puissance, alors que le Kepler, dont le foyer réel permet de placer un petit diaphragme pour nettoyer le faisceau, convient aux lasers de faible puissance.

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