La raie jaune du sodium : émission spontanée ou émission stimulée ?

La stratégie. Les deux émissions partent du même niveau haut : leur rapport ne dépend pas de $N_2$ et vaut $Bu/A$. Tout se ramène à comparer la densité spectrale du rayonnement présent à la densité $u^{\ast }=A/B$, propre à la transition.

1) Deux photons, deux comportements. Le photon émis spontanément a la fréquence de la transition (à la largeur de raie près), mais une direction, une phase et une polarisation aléatoires : chaque atome émet pour son compte, et la vapeur rayonne dans toutes les directions une lumière incohérente — c'est la lampe. Le photon émis par émission stimulée est le clone du photon incident : même fréquence, même direction, même phase, même polarisation. Les deux photons repartent ensemble et peuvent à leur tour en stimuler d'autres : seule l'émission stimulée ajoute de la lumière à un faisceau existant, sans en changer la direction ni la phase. C'est elle qui fabrique un faisceau, et le mot laser le dit : amplification de lumière par émission stimulée de rayonnement.

2) Durée de vie, largeur naturelle. Le niveau haut se vide par émission spontanée au taux $A{N}_2$ : $\frac{\mathrm{d}{N}_2}{\mathrm{d}t}=-A{N}_2$ en l'absence de rayonnement, d'où $N_2(t)=N_2(0){\mathrm{e}}^{-t/\tau }$ avec $\tau =1/A$ : $$A=\frac{1}{\tau }=\frac{1}{16,2\times 10^{-9}}=6,17\times 10^7{\mathrm{s}}^{-1}.$$ Chaque atome émet donc un train d'onde d'une durée de l'ordre de $\tau$ ; la relation entre durée et largeur spectrale donne $$\Delta \nu \approx \frac{1}{2\pi \tau }=\frac{1}{2\pi \times 16,2\times 10^{-9}}=9,8\mathrm{MHz},$$ en accord avec la largeur naturelle mesurée de la raie ($9,8\mathrm{MHz}$). La fréquence vaut ${\nu }_0=c/{\lambda }_0=5,09\times 10^{14}\mathrm{Hz}$ : $\Delta \nu /{\nu }_0=1,9\times 10^{-8}$. En longueur d'onde, $|\mathrm{d}\lambda |=\frac{c}{{\nu }^2}\mathrm{d}\nu =\frac{{\lambda }^2}{c}\mathrm{d}\nu$ : $$\Delta \lambda =\frac{{\lambda }_0^2\Delta \nu }{c}=\frac{(589,0\times 10^{-9}{)}^2\times 9,82\times 10^6}{3,00\times 10^8}=1,1\times 10^{-14}\mathrm{m}=1,1\times 10^{-5}\mathrm{nm}.$$ Une raie atomique isolée est extraordinairement fine : la largeur observée sur une lampe (effet Doppler, collisions) est au moins cent fois plus grande, mais reste petite devant le nanomètre.

3) Coefficient $B$ et densité de basculement. $$\frac{A}{B}=\frac{8\pi h{\nu }_0^3}{c^3}=\frac{8\pi \times 6,626\times 10^{-34}\times (5,090\times 10^{14}{)}^3}{(2,998\times 10^8{)}^3}=8,15\times 10^{-14}\mathrm{J}{\mathrm{m}}^{-3}\mathrm{H}{\mathrm{z}}^{-1},$$ c'est-à-dire en $\mathrm{J}\mathrm{s}{\mathrm{m}}^{-3}$, l'unité d'une densité spectrale. D'où $$B=\frac{A}{A/B}=\frac{6,17\times 10^7}{8,15\times 10^{-14}}=7,6\times 10^{20}{\mathrm{m}}^3{\mathrm{J}}^{-1}{\mathrm{s}}^{-2},$$ unité qui fait bien de $Bu$ un taux en ${\mathrm{s}}^{-1}$. Les deux émissions ont le même taux quand $B{u}^{\ast }{N}_2=A{N}_2$ : $$\boxed{u^{\ast }=\frac{A}{B}=\frac{8\pi h{\nu }_0^3}{c^3}}=8,15\times 10^{-14}\mathrm{J}{\mathrm{m}}^{-3}\mathrm{H}{\mathrm{z}}^{-1}.$$ Cette densité ne dépend que de la fréquence. Sur la largeur de la raie, elle correspond à l'intensité $$I^{\ast }=c{u}^{\ast }\Delta \nu =2,998\times 10^8\times 8,15\times 10^{-14}\times 9,82\times 10^6=2,4\times 10^2\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2},$$ soit $24\mathrm{mW}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-2}$, concentrés dans une bande de $10\mathrm{MHz}$.

4) Le Soleil et le laser. Le rapport des taux vaut $$\frac{Bu{N}_2}{A{N}_2}=\frac{u}{u^{\ast }}=\frac{I}{I^{\ast }},$$ où $I$ est l'intensité du rayonnement contenue dans la largeur de la raie. Le Soleil : sa lumière s'étale sur des centaines de nanomètres, et la raie n'en retient que la bande $\Delta \lambda$ : $$I_{\odot }=1,5\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}\mathrm{n}{\mathrm{m}}^{-1}\times 1,14\times 10^{-5}\mathrm{nm}=1,7\times 10^{-5}\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2},\frac{I_{\odot }}{I^{\ast }}=7\times 10^{-8}.$$ Sous le Soleil, un atome excité se désexcite spontanément plus de dix millions de fois pour une émission stimulée. (La réalité est encore moins favorable : le sodium de l'atmosphère solaire absorbe justement cette raie, d'où une raie sombre de Fraunhofer à $589\mathrm{nm}$ dans le spectre du Soleil.) Le laser : toute sa puissance tombe dans la raie, $$I_{\text{laser}}=\frac{\mathcal{P}}{\pi r^2}=\frac{10\times 10^{-3}}{\pi \times (10^{-3}{)}^2}=3,2\times 10^3\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2},\frac{I_{\text{laser}}}{I^{\ast }}=13.$$ Avec dix milliwatts, l'émission stimulée l'emporte d'un facteur treize. Ce n'est pas la puissance qui compte, mais la puissance par unité de surface et par unité de fréquence : le Soleil envoie un kilowatt par mètre carré, mais réparti sur $10^{14}\mathrm{Hz}$ ; le laser n'envoie que trois kilowatts par mètre carré, mais dans dix mégahertz.

5) Vers l'ultraviolet. $u^{\ast }\propto {\nu }_0^3\propto 1/{\lambda }_0^3$ : à $200\mathrm{nm}$, elle est multipliée par $(589/200{)}^3=25,5$. L'intensité de basculement $I^{\ast }=c{u}^{\ast }\Delta \nu$ croît d'autant, et davantage encore car les niveaux qui émettent dans l'ultraviolet ont en général des durées de vie plus courtes, donc des raies plus larges. Pour que l'émission stimulée domine, il faut entretenir dans le milieu un rayonnement bien plus intense, et une inversion de population d'autant plus coûteuse que le niveau haut se vide vite. Les lasers ultraviolets, et plus encore les lasers à rayons X, sont pour cela des prouesses techniques.

Ce que l'exercice installe. $A$ est l'inverse d'une durée de vie, et fixe la largeur naturelle de la raie. Le rapport $A/B=8\pi h{\nu }_0^3/c^3$ est la densité spectrale au-delà de laquelle l'émission stimulée l'emporte sur l'émission spontanée ; aucune source naturelle n'en approche, un laser de quelques milliwatts la dépasse : l'émission stimulée ne domine que dans un rayonnement déjà intense et étroit, celui que le laser entretient lui-même.