physique des ondes 2 (PC) · Chapitre 4 · Exercice de TD

Le gain et le seuil d'un laser hélium-néon

Introduction à la physique du laser · C. Inversion de population et pompage · niveau 2

Énoncé

Un laser hélium-néon de travaux pratiques émet $1 mW$ à $632, 8 nm$ . Son milieu amplificateur, un tube à décharge de longueur $L = 30 cm$ , est placé entre un miroir de coefficient de réflexion en intensité $R_{1} = 0, 999$ et un miroir de sortie de coefficient $R_{2} = 0, 98$ , qui transmet le faisceau utile ; on néglige toute autre perte. Dans le tube, une onde qui se propage selon l'axe voit son intensité croître selon $\frac{d I}{d z} = g I$ (régime de faible signal), avec $g = σ (N_{2} - N_{1})$ et $σ = 3 \times 1 0^{- 17} m^{2}$ (données). Le néon, seul responsable de l'émission, est sous une pression partielle de $15 Pa$ à $400 K$ , assimilé à un gaz parfait. Le gain linéique d'un tel tube ne peut guère dépasser $0, 1 m^{- 1}$ (donné). On admet que le laser oscille, en régime établi, quand l'intensité d'une onde revient identique à elle-même après un aller-retour dans la cavité.

1) Suivre l'intensité d'une onde sur un aller-retour, depuis le miroir 1. En déduire la condition d'oscillation, puis le gain linéique de seuil $g_{s}$ .

2) Calculer l'inversion de population de seuil $N_{2} - N_{1}$ , puis la fraction des atomes de néon qu'elle représente.

3) De combien l'intensité augmente-t-elle sur un passage dans le tube, au seuil ? Pourquoi un laser hélium-néon exige-t-il des miroirs aussi bons ? Quel est le plus petit coefficient $R_{2}$ permis par ce tube ?

4) Quelle puissance circule dans la cavité, vers le miroir de sortie, quand le laser émet $1 mW$ ?

Corrigé

La stratégie. En faible signal, $\frac{d I}{d z} = g I$ s'intègre en $I (z) = I (0) e^{g z}$ : un passage multiplie l'intensité par $e^{g L}$ , une réflexion par $R$ . Le seuil égale le gain d'un aller-retour à ses pertes.

1) La condition d'oscillation. Partons du miroir 1 avec l'intensité $I_{1}$ . Après un passage, l'onde arrive au miroir 2 avec $I_{1} e^{g L}$ ; elle en repart avec $R_{2} I_{1} e^{g L}$ (le reste, $(1 - R_{2}) I_{1} e^{g L}$ , sort : c'est le faisceau utile) ; elle revient au miroir 1 avec $R_{2} I_{1} e^{2 g L}$ et en repart avec $R_{1} R_{2} I_{1} e^{2 g L}$ . L'onde se retrouve identique à elle-même si $R_{1} R_{2} e^{2 g L} = 1 ⟺ g_{s} = \frac{1}{2 L} ln \frac{1}{R _{1} R _{2}} .$ Si $g < g_{s}$ , chaque aller-retour affaiblit l'onde : rien n'oscille. Si $g > g_{s}$ , elle croît jusqu'à ce que le gain retombe à $g_{s}$ (par la saturation, qu'on admet) : en régime établi, le gain est égal au gain de seuil. Numériquement, $ln (1/ R_{1}) = 1, 0 \times 1 0^{- 3}$ et $ln (1/ R_{2}) = 2, 02 \times 1 0^{- 2}$ : $g_{s} = \frac{1 , 0 \times 1 0 ^{- 3} + 2 , 02 \times 1 0 ^{- 2}}{2 \times 0 , 30} = 3, 53 \times 1 0^{- 2} m^{- 1} .$ Le miroir de sortie fait $95 %$ des pertes : c'est par lui que sort la lumière utile.

2) L'inversion de seuil. $N_{2} - N_{1} = \frac{g _{s}}{σ} = \frac{3 , 53 \times 1 0 ^{- 2}}{3 \times 1 0 ^{- 17}} = 1, 2 \times 1 0^{15} m^{- 3}$ . La densité du néon vaut $n = \frac{P}{k _{B} T} = \frac{15}{1 , 381 \times 1 0 ^{- 23} \times 400} = 2, 7 \times 1 0^{21} m^{- 3},$ et l'inversion n'en concerne que $1, 2 \times 1 0^{15} /2, 7 \times 1 0^{21} = 4 \times 1 0^{- 7}$ , quatre atomes sur dix millions. Ce n'est pas le nombre d'atomes excités qui limite un laser à gaz, c'est leur faible section efficace dans un gaz si dilué.

3) Un gain d'un pour cent. Au seuil, un passage multiplie l'intensité par $e^{g_{s} L} = e^{0, 0106} = 1, 0107$ : un gain de $1, 07 %$ par passage, $2, 1 %$ par aller-retour. Toutes les pertes d'un aller-retour (miroirs, fenêtres, diffusion) doivent rester sous ces deux pour cent : d'où des miroirs diélectriques multicouches presque parfaits, et un faisceau utile qui ne sort que par une fuite de $2 %$ . Avec le gain maximal $g_{m a x} = 0, 1 m^{- 1}$ , la condition $R_{1} R_{2} e^{2 g_{m a x} L} ⩾ 1$ donne $R_{2} ⩾ \frac{e ^{- 2 g_{m a x} L}}{R _{1}} = \frac{e ^{- 0, 06}}{0 , 999} = 0, 94 :$ un miroir de sortie qui réfléchirait moins de $94 %$ éteindrait le laser.

4) La puissance intracavité. Le miroir de sortie transmet la fraction $1 - R_{2} = 0, 02$ de la puissance $P_{c}$ qui l'atteint : $P_{c} = \frac{P _{s}}{1 - R _{2}} = \frac{1 mW}{0 , 02} = 50 mW .$ Cinquante fois plus de lumière circule entre les miroirs qu'il n'en sort : c'est elle qui, très intense, entretient l'émission stimulée dans le tube.

Ce que l'exercice installe. Intégrer $\frac{d I}{d z} = g I$ et suivre une onde sur un aller-retour. Un laser oscille quand le gain d'un aller-retour compense les pertes, $R_{1} R_{2} e^{2 g L} = 1$ ; un milieu à faible gain exige des miroirs presque parfaits ; l'inversion de seuil, $g_{s} / σ$ , ne concerne qu'une infime fraction des atomes ; et la lumière utile n'est qu'une fuite de la lumière qui circule dans la cavité.

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