Le pointeur laser : puissance surfacique, et pourquoi ce n'est pas une onde plane

La stratégie. La puissance est le flux de l'intensité à travers une section droite ; avec la symétrie de révolution, on intègre sur des couronnes de surface $2\pi r\mathrm{d}r$. La propagation se lit sur $w(z)$, que le cylindre et le cône encadrent.

1) Puissance et intensité sur l'axe. $$\mathcal{P}={\int }_0^{\infty }{I}_0{\mathrm{e}}^{-2r^2/w_0^2}2\pi r\mathrm{d}r=2\pi I_0{\left[-\frac{w_0^2}{4}{\mathrm{e}}^{-2r^2/w_0^2}\right]}_0^{\infty }=\frac{\pi w_0^2}{2}{I}_0,$$ d'où $$\boxed{I_0=\frac{2\mathcal{P}}{\pi w_0^2}}=\frac{2\times 1,0\times 10^{-3}}{\pi \times (0,75\times 10^{-3}{)}^2}=1,13\times 10^3\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}.$$ Sur l'axe, le pointeur de un milliwatt éclaire autant que le Soleil de midi, mais sur une tache d'un millimètre et demi. L'intensité sur l'axe est le double de celle d'un faisceau uniforme de même puissance et de rayon $w_0$ : $I_0$ se lit directement à partir de $\mathcal{P}$ et de $w_0$, c'est la puissance surfacique disponible.

2) Où est la puissance. Le même calcul, arrêté au rayon $a$, donne la puissance contenue dans le disque $r<a$ : $$\frac{\mathcal{P}(a)}{\mathcal{P}}=1-{\mathrm{e}}^{-2a^2/w_0^2}.$$ Pour $a=w_0$ : $1-{\mathrm{e}}^{-2}=86,5\%$. Pour $99\%$ : ${\mathrm{e}}^{-2a^2/w_0^2}=0,01$, soit $a=w_0\sqrt{\ln (100)/2}=1,52w_0=1,1\mathrm{mm}$. L'intensité vaut $I_0/2$ pour $2r^2/w_0^2=\ln 2$, soit $r=w_0\sqrt{\ln (2)/2}=0,59w_0$. Le faisceau n'a pas de bord net, mais l'essentiel de sa puissance tient dans le rayon $w_0$, et presque toute dans $1,5w_0$ : c'est ce qui donne un sens au « rayon » du faisceau.

3) Pas une onde plane. Puissance finie : une onde plane a la même intensité sur tout un plan infini ; elle transporte une puissance infinie et n'a pas de tache. Le faisceau, lui, a une intensité qui décroît avec $r$ et une puissance finie. Diffraction : une onde plane se propage sans changer ; un faisceau de largeur finie, lui, est diffracté et s'élargit nécessairement, d'autant plus qu'il est fin. Ni l'une ni l'autre de ces propriétés ne se décrit par une onde plane, ni d'ailleurs par un rayon de l'optique géométrique.

4) Cylindre, cône, hyperbole. $$z_R=\frac{\pi w_0^2}{\lambda }=\frac{\pi \times (0,75\times 10^{-3}{)}^2}{650\times 10^{-9}}=2,72\mathrm{m},$$ $$\theta =\frac{\lambda }{\pi w_0}=\frac{650\times 10^{-9}}{\pi \times 0,75\times 10^{-3}}=2,8\times 10^{-4}\mathrm{rad}.$$ La construction : près du waist, le faisceau est un cylindre de rayon $w_0$ ; loin du waist, un cône de demi-angle $\theta$, de rayon $\theta z$. Les deux se coupent quand $\theta z=w_0$, soit en $z=w_0/\theta =\pi w_0^2/\lambda =z_R$ : la longueur de Rayleigh est l'abscisse où le cylindre cède la place au cône. Le rayon vrai, $w(z)=w_0\sqrt{1+(z/z_R{)}^2}$, est une hyperbole qui épouse le cylindre pour $z\ll z_R$ et le cône pour $z\gg z_R$ ; l'écart est maximal au raccord, où $w(z_R)=\sqrt{2}{w}_0$ (la construction y sous-estime le rayon de $30\%$).

À $1\mathrm{m}$, on est encore dans le cylindre ; à $20\mathrm{m}$, au fond de l'amphithéâtre, dans le cône, et la tache a un centimètre de diamètre ; à $100\mathrm{m}$, plus de cinq centimètres. L'intensité sur l'axe, $2\mathcal{P}/(\pi w^2)$, tombe à $20\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}$ à $20\mathrm{m}$ : loin du waist, elle décroît en $1/z^2$, comme celle d'une onde sphérique.

(Les deux axes n'ont pas la même unité : le demi-angle réel, $0,28\mathrm{mrad}$, serait invisible à la même échelle.)

Ce que l'exercice installe. $I_0=2\mathcal{P}/(\pi w_0^2)$ : la puissance surfacique se lit sur l'axe, et vaut le double de la moyenne sur le disque de rayon $w_0$, qui contient $86,5\%$ de la puissance. Un faisceau gaussien est un cylindre jusqu'à $z_R$, puis un cône de demi-angle $\lambda /(\pi w_0)$ ; ni l'un ni l'autre n'est une onde plane, et c'est la diffraction qui impose le cône.