Problème : focaliser pour découper, la tache focale $\lambda f^{\prime }/(\pi W)$

La stratégie. L'optique géométrique donne la direction du faisceau émergent : un cône qui converge vers le foyer image. La diffraction donne ce que l'optique géométrique ignore : un cône de demi-angle donné possède nécessairement un waist, de rayon fixé par $\theta =\lambda /(\pi w_0)$. On égale les deux angles.

1) La construction de la tache focale. Faisceau incident : $$z_R=\frac{\pi W^2}{\lambda }=\frac{\pi \times (5,0\times 10^{-3}{)}^2}{10,6\times 10^{-6}}=7,4\mathrm{m}\gg f^{\prime }=0,127\mathrm{m}.$$ Sur les quelques centimètres qui comptent, le rayon du faisceau incident ne varie pas : il est cylindrique, de rayon $W$, comme un faisceau de rayons parallèles à l'axe. Optique géométrique : ces rayons convergent au foyer image $F^{\prime }$ ; le faisceau émergent est un cône de sommet $F^{\prime }$ et de demi-angle $\alpha$ tel que $\tan \alpha =W/f^{\prime }$, soit $\alpha \approx W/f^{\prime }=3,9\times 10^{-2}\mathrm{rad}$ dans les conditions de Gauss. Au foyer, l'optique géométrique prévoit un point, donc une intensité infinie : c'est impossible, car un faisceau de rayon nul diffracterait infiniment. Diffraction : le faisceau émergent est encore un faisceau gaussien ; loin de son waist, c'est un cône de demi-angle $\lambda /(\pi w_0^{\prime })$. Ce cône est celui de l'optique géométrique, de part et d'autre du foyer : il converge, puis rediverge avec le même angle. Les deux descriptions s'accordent si $$\frac{\lambda }{\pi w_0^{\prime }}=\frac{W}{f^{\prime }}⟹\boxed{w_0^{\prime }=\frac{\lambda f^{\prime }}{\pi W}}.$$ Le waist, point où le cône convergent devient divergent, est au sommet du cône : au foyer image $F^{\prime }$, à une longueur de Rayleigh près (on le vérifie : $z_R^{\prime }\ll f^{\prime }$ ci-dessous). Plus la lentille est convergente et le faisceau incident large, plus la tache est petite.

2) Profondeur de champ et puissance surfacique. $$z_R^{\prime }=\frac{\pi w_0^{\prime 2}}{\lambda }=\frac{\pi }{\lambda }\frac{{\lambda }^2{f}^{\prime 2}}{{\pi }^2{W}^2}=\frac{\lambda f^{\prime 2}}{\pi W^2},I_0^{\prime }=\frac{2\mathcal{P}}{\pi w_0^{\prime 2}}=\frac{2\pi \mathcal{P}{W}^2}{{\lambda }^2{f}^{\prime 2}}.$$ On note aussi $z_R^{\prime }=w_0^{\prime }/\alpha$ : c'est la distance sur laquelle le cône de demi-angle $\alpha$ resterait plus fin que le waist, ce que redit la construction cylindre-cône. L'intensité au foyer croît comme $W^2$ et comme $1/{\lambda }^2$ ; la profondeur de champ varie en sens inverse de $W^2$.

3) La machine à $\mathrm{C}{\mathrm{O}}_2$. $$w_0^{\prime }=\frac{10,6\times 10^{-6}\times 0,127}{\pi \times 5,0\times 10^{-3}}=8,57\times 10^{-5}\mathrm{m}=86\mu \mathrm{m},$$ $$I_0^{\prime }=\frac{2\times 2,0\times 10^3}{\pi \times (8,57\times 10^{-5}{)}^2}=1,7\times 10^{11}\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}=17\mathrm{MW}\mathrm{c}{\mathrm{m}}^{-2},$$ $$2z_R^{\prime }=\frac{2\pi \times (8,57\times 10^{-5}{)}^2}{10,6\times 10^{-6}}=4,4\mathrm{mm}.$$ Le faisceau incident a, sur l'axe, $2\mathcal{P}/(\pi W^2)=5,1\times 10^7\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}$ : la lentille multiplie la puissance surfacique par $(W/w_0^{\prime }{)}^2=3400$. Plus de cent millions de fois l'éclairement solaire : l'acier fond et se vaporise, et un jet de gaz chasse le métal liquide. La profondeur de champ, $4,4\mathrm{mm}$, dépasse l'épaisseur de la tôle : sur toute son épaisseur, le faisceau garde un rayon compris entre $w_0^{\prime }$ et $\sqrt{2}{w}_0^{\prime }$ si le foyer est placé au milieu. Et $z_R^{\prime }=2,2\mathrm{mm}\ll f^{\prime }$ : le waist est bien au foyer.

4) Élargir avant de focaliser. Avec $W=10\mathrm{mm}$ : $w_0^{\prime }=43\mu \mathrm{m}$ (divisé par $2$), $I_0^{\prime }=6,9\times 10^{11}\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}$ (multipliée par $4$), $2z_R^{\prime }=1,1\mathrm{mm}$ (divisée par $4$). L'intensité gagne ce que la profondeur de champ perd : $I_0^{\prime }{z}_R^{\prime }=2\mathcal{P}/\lambda$ ne dépend ni de $W$ ni de $f^{\prime }$. Avec $1,1\mathrm{mm}$ de profondeur de champ, le faisceau s'élargirait nettement dans une tôle de $2\mathrm{mm}$, et la saignée aurait des bords moins droits. Le constructeur choisit $W$ et $f^{\prime }$ selon l'épaisseur : grand $W/f^{\prime }$ pour les tôles minces (tache fine, découpe rapide), petit $W/f^{\prime }$ pour les tôles épaisses (profondeur de champ).

5) Le laser à fibre. La longueur d'onde est dix fois plus courte : $w_0^{\prime }=\frac{1,07\times 10^{-6}\times 0,127}{\pi \times 5,0\times 10^{-3}}=8,7\mu \mathrm{m}$, dix fois plus petit ; $I_0^{\prime }=1,7\times 10^{13}\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}$, cent fois plus grande ; $2z_R^{\prime }=0,44\mathrm{mm}$, dix fois plus courte. Pour les tôles minces, le laser à fibre découpe beaucoup plus vite, avec une saignée fine : il a conquis ce marché. Pour les tôles épaisses, la profondeur de champ manque : on y garde l'avantage du $\mathrm{C}{\mathrm{O}}_2$, dont la grande longueur d'onde donne naturellement une longue profondeur de champ (dans ce modèle du moins : les machines réelles jouent aussi sur $W$ et sur $f^{\prime }$).

6) Dans l'œil. Pointeur rouge : le faisceau, de rayon $0,75\mathrm{mm}$, entre en entier dans la pupille (rayon $1,5\mathrm{mm}$), et sa longueur de Rayleigh ($2,7\mathrm{m}$) est immense devant $17\mathrm{mm}$ : il est cylindrique pour l'œil, qui le focalise sur la rétine en $$w_0^{\prime }=\frac{650\times 10^{-9}\times 17\times 10^{-3}}{\pi \times 0,75\times 10^{-3}}=4,7\mu \mathrm{m},$$ $$I_0^{\prime }=\frac{2\times 10^{-3}}{\pi \times (4,69\times 10^{-6}{)}^2}=2,9\times 10^7\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}.$$ Pointeur vert de $5\mathrm{mW}$ : $w_0^{\prime }=5,8\mu \mathrm{m}$ et $I_0^{\prime }=9,6\times 10^7\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}$. Le Soleil : la pupille laisse entrer $1000\times \pi \times (1,5\times 10^{-3}{)}^2=7,1\mathrm{mW}$, mais le Soleil est une source étendue : chacun de ses points donne sa propre image, et l'ensemble forme sur la rétine un disque de diamètre $f^{\prime }\times 0,53^{\circ }=17\mathrm{mm}\times 9,25\times 10^{-3}=0,16\mathrm{mm}$, éclairé par $$\frac{7,1\times 10^{-3}}{\pi \times (0,079\times 10^{-3}{)}^2}=3,6\times 10^5\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}.$$ Le pointeur de un milliwatt concentre sur la rétine $80$ fois plus que le Soleil regardé en face, le vert de cinq milliwatts $260$ fois plus. Le Soleil envoie sept fois plus de puissance dans l'œil, mais l'étale sur une image géométrique ; le laser, source cohérente spatialement, est focalisé jusqu'à la limite de diffraction, sur une tache dont la surface est près de trois cents fois plus petite. Personne ne fixe le Soleil : l'éblouissement fait fermer les yeux, et c'est sur ce réflexe que repose la classe 2 : pendant $0,25\mathrm{s}$, le pointeur de $1\mathrm{mW}$ dépose $0,25\mathrm{mJ}$ sur une tache de quelques micromètres, ce que la rétine supporte. Au-delà de $1\mathrm{mW}$, le clignement ne suffit plus à garantir l'innocuité : les pointeurs plus puissants, comme le vert de $5\mathrm{mW}$ (classe 3R), sont réglementés, et les pointeurs de plusieurs centaines de milliwatts vendus sur internet sont interdits à la vente au public.

(Schéma hors d'échelle : un seul point du Soleil est figuré, les autres donnent des images voisines.)

Le résultat obtenu — la tache focale d'un faisceau gaussien. Une lentille de focale $f^{\prime }$ éclairée par un faisceau gaussien cylindrique de rayon $W$, de longueur de Rayleigh grande devant $f^{\prime }$, le transforme en un cône de demi-angle $W/f^{\prime }$ qui converge vers un waist placé au voisinage de son foyer image, de rayon et de profondeur de champ $$w_0^{\prime }=\frac{\lambda f^{\prime }}{\pi W},2z_R^{\prime }=\frac{2\lambda f^{\prime 2}}{\pi W^2};$$ la puissance surfacique sur l'axe y vaut $$I_0^{\prime }=\frac{2\mathcal{P}}{\pi w_0^{\prime 2}}=\frac{2\pi \mathcal{P}{W}^2}{{\lambda }^2{f}^{\prime 2}}.$$ Pour un laser $\mathrm{C}{\mathrm{O}}_2$ de $2\mathrm{kW}$ focalisé à $127\mathrm{mm}$ : $86\mu \mathrm{m}$, $1,7\times 10^{11}\mathrm{W}{\mathrm{m}}^{-2}$ et $4,4\mathrm{mm}$ ; pour un pointeur de $1\mathrm{mW}$ dans l'œil : $4,7\mu \mathrm{m}$ et $80$ fois le Soleil.

Ce que l'exercice installe. La méthode qui fait le cœur de la partie : l'optique géométrique donne le cône, la diffraction donne le waist, et l'on égale les deux angles, $W/f^{\prime }=\lambda /(\pi w_0^{\prime })$. La dimension de la tache donne la puissance surfacique disponible ; intensité et profondeur de champ varient en sens contraires ; une source cohérente se focalise jusqu'à la limite de diffraction, une source étendue ne descend pas sous son image géométrique.