physique des ondes 2 (PC) · Chapitre 4 · Exercice de TD

Trois niveaux contre quatre : le rubis de Maiman et le Nd:YAG

Introduction à la physique du laser · C. Inversion de population et pompage · niveau 2

Énoncé

Le rubis. Le premier laser, construit par Theodore Maiman en 1960, est un barreau de rubis : de l'alumine contenant des ions chrome $C r^{3 +}$ , à raison de $N = 1, 58 \times 1 0^{25} m^{- 3}$ . On le modélise par trois niveaux non dégénérés : le fondamental $E_{1}$ , une bande d'absorption $E_{3}$ excitée par la lumière verte ( $λ_{p} = 550 nm$ ), et le niveau $E_{2}$ , haut de la transition laser $E_{2} \to E_{1}$ ( $694, 3 nm$ ), de durée de vie $τ = 3, 0 ms$ . Chaque ion du fondamental est pompé vers $E_{3}$ avec le taux $W$ (probabilité $W d t$ pendant $d t$ ) ; $E_{3}$ se vide instantanément vers $E_{2}$ , et sa population est négligeable. Tant qu'aucun faisceau n'est à amplifier (sous le seuil), on néglige l'émission stimulée, et (données) $\frac{d N _{2}}{d t} = W N_{1} - \frac{N _{2}}{τ}, N_{1} + N_{2} = N .$ Le barreau de Maiman est un cylindre de $1 cm$ de diamètre et de $2 cm$ de long.

Le $Nd : YAG$ . Dans un cristal de grenat d'yttrium et d'aluminium dopé par des ions néodyme $N d^{3 +}$ ( $1, 38 \times 1 0^{26} m^{- 3}$ ), les ions sont pompés à $808 nm$ par des diodes laser, depuis le fondamental $E_{0}$ vers un niveau $E_{3}$ qui se vide instantanément vers $E_{2}$ (durée de vie $τ = 230 μ s$ ) ; la transition laser $E_{2} \to E_{1}$ émet à $1064 nm$ , et le niveau bas $E_{1}$ se vide si vite vers $E_{0}$ que sa population est nulle : $N_{1} \approx 0$ , $N_{0} + N_{2} = N$ . Les pertes de la cavité imposent, pour que le laser oscille, l'inversion $N_{2} - N_{1} = 7, 2 \times 1 0^{21} m^{- 3}$ (donnée).

1) Rubis : en régime stationnaire, exprimer $N_{2} / N_{1}$ , puis $N_{2} - N_{1}$ , en fonction de $N$ et de $W τ$ . Quel taux de pompage donne la transparence ( $N_{2} = N_{1}$ ) ?

2) Chaque ion pompé coûte un photon de pompe. Calculer la puissance de pompe absorbée par unité de volume pour maintenir le rubis à la transparence, puis pour le barreau de Maiman. Pourquoi le laser à rubis fonctionne-t-il en impulsions, pompé par une lampe flash ?

3) $Nd : YAG$ : pourquoi toute population du niveau $E_{2}$ est-elle une inversion ? Calculer la puissance de pompe par unité de volume qui entretient l'inversion imposée, la fraction des ions excités, et comparer aux besoins du rubis.

4) Quelle fraction au plus de la puissance de pompe d'un laser $Nd : YAG$ peut ressortir en lumière laser ? Où passe le reste ?

Corrigé

La stratégie. Un bilan de population par niveau : ce qui entre (pompage) moins ce qui sort (désexcitation spontanée), nul en régime stationnaire. La puissance de pompe se déduit du nombre d'ions pompés par unité de temps et de volume, chacun coûtant un photon de pompe $h ν_{p}$ .

1) Rubis : la transparence. En régime stationnaire, $W N_{1} = N_{2} / τ$ , d'où $\frac{N _{2}}{N _{1}} = W τ, N_{1} = \frac{N}{1 + W τ}, N_{2} = \frac{W τ N}{1 + W τ}, N_{2} - N_{1} = N \frac{W τ - 1}{W τ + 1} .$ L'inversion exige $W τ > 1$ : le pompage doit faire passer chaque ion du fondamental vers le haut plus vite que le niveau haut ne se vide. La transparence est atteinte pour $W_{t} = \frac{1}{τ} = \frac{1}{3 , 0 \times 1 0 ^{- 3}} = 333 s^{- 1},$ et alors $N_{1} = N_{2} = N /2$ . C'est là qu'un niveau haut métastable (des millisecondes, près de deux cent mille fois la durée de vie du niveau haut du sodium) est précieux : $W_{t}$ est d'autant plus petit que $τ$ est grand.

2) Rubis : le coût. Les ions pompés par unité de volume et de temps sont $W N_{1}$ ; chacun absorbe un photon vert d'énergie $h ν_{p} = \frac{h c}{λ _{p}} = 3, 61 \times 1 0^{- 19} J$ ( $2, 25 eV$ ). À la transparence, $\frac{P}{V} = W_{t} \frac{N}{2} h ν_{p} = \frac{N h ν _{p}}{2 τ} = \frac{1 , 58 \times 1 0 ^{25} \times 3 , 61 \times 1 0 ^{- 19}}{2 \times 3 , 0 \times 1 0 ^{- 3}} = 9, 5 \times 1 0^{8} W m^{- 3} = 950 W c m^{- 3} .$ Le barreau a pour volume $π \times (0, 5 cm)^{2} \times 2 cm = 1, 57 c m^{3}$ : il faut y faire absorber $1, 5 kW$ de lumière verte pour seulement atteindre la transparence, le gain ne commençant qu'au-delà. Une lampe ne convertit que quelques pour cent de son énergie électrique en lumière absorbée dans la bande verte : en continu, il faudrait des dizaines de kilowatts électriques et évacuer autant de chaleur d'un barreau d'un centimètre cube et demi. D'où la solution de Maiman : une lampe flash hélicoïdale enroulée autour du barreau, qui délivre cette puissance pendant une durée de l'ordre de la durée de vie $τ$ , le temps de dépasser le seuil ; le laser émet une impulsion, puis tout refroidit.

3) $Nd : YAG$ : quatre niveaux. Le niveau bas de la transition laser n'est pas le fondamental, et il se vide instantanément : $N_{1} \approx 0$ , donc $N_{2} - N_{1} = N_{2}$ . Le moindre ion excité est une inversion : pas de moitié du fondamental à vider d'abord. Le bilan du niveau $E_{2}$ s'écrit $\frac{d N _{2}}{d t} = W N_{0} - \frac{N _{2}}{τ}$ ; en régime stationnaire, le nombre d'ions pompés par unité de temps et de volume, $W N_{0}$ , compense les désexcitations $N_{2} / τ$ . Avec $h ν_{p} = h c / (808 nm) = 2, 46 \times 1 0^{- 19} J$ : $\frac{P}{V} = W N_{0} h ν_{p} = \frac{N _{2} h ν _{p}}{τ} = \frac{7 , 2 \times 1 0 ^{21} \times 2 , 46 \times 1 0 ^{- 19}}{230 \times 1 0 ^{- 6}} = 7, 7 \times 1 0^{6} W m^{- 3} = 7, 7 W c m^{- 3} .$ La fraction des ions excités est $N_{2} / N = 7, 2 \times 1 0^{21} /1, 38 \times 1 0^{26} = 5 \times 1 0^{- 5}$ : cinq ions sur cent mille suffisent. Le rubis demandait, rien que pour la transparence, $950/7, 7 \approx 120$ fois plus de puissance par unité de volume. C'est pourquoi le $Nd : YAG$ fonctionne en continu, pompé par quelques diodes de quelques watts, et que les lasers usuels sont à quatre niveaux.

4) Le défaut quantique. Chaque ion pompé absorbe un photon de $808 nm$ et en émet au mieux un de $1064 nm$ : la fraction maximale est le rapport des énergies, $\frac{h ν _{laser}}{h ν _{p}} = \frac{808}{1 064} = 0, 76.$ Les $24 %$ restants sont cédés au cristal lors des désexcitations non radiatives $E_{3} \to E_{2}$ et $E_{1} \to E_{0}$ , sous forme de vibrations du réseau : de la chaleur, qu'il faut évacuer. Le rendement réel est plus faible encore (ions qui se désexcitent spontanément, pertes de la cavité).

Ce que l'exercice installe. Écrire un bilan de populations niveau par niveau et le résoudre en régime stationnaire ; convertir un taux de pompage en puissance, un photon de pompe par ion pompé. Avec trois niveaux, il faut d'abord porter la moitié des ions hors du fondamental ; avec quatre, le niveau bas de la transition est déjà vide : c'est la différence entre un kilowatt et quelques watts par centimètre cube, entre le flash et le continu.

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