Viser la Lune : la télémétrie laser

La stratégie. La divergence d'un faisceau gaussien est fixée par son waist, $\theta =\lambda /(\pi w_0)$ : pour diverger peu, il faut un faisceau large, et l'élargisseur échange du rayon contre de l'angle. Sur $384000\mathrm{km}$, seul compte le cône.

1) Sans élargisseur. $$z_R=\frac{\pi w_0^2}{\lambda }=\frac{\pi \times (10^{-3}{)}^2}{532\times 10^{-9}}=5,9\mathrm{m},\theta =\frac{\lambda }{\pi w_0}=\frac{532\times 10^{-9}}{\pi \times 10^{-3}}=1,69\times 10^{-4}\mathrm{rad}.$$ La Lune est à $6\times 10^7{z}_R$ : on est dans le cône, et $w(D)\approx \theta D=1,69\times 10^{-4}\times 3,844\times 10^8=6,5\times 10^4\mathrm{m}$. Une tache de $65\mathrm{km}$ de rayon : un faisceau de laboratoire « bien parallèle » est, à cette distance, un projecteur.

2) L'élargisseur. Un faisceau cylindrique de rayon $W_1$ est, pour l'optique géométrique, un faisceau de rayons parallèles à l'axe. La première lentille les fait converger en son foyer image $F_1^{\prime }$, sous le demi-angle $W_1/f_1^{\prime }$ ; ce point est le foyer objet $F_2$ de la seconde lentille, qui rend les rayons parallèles à l'axe. Le rayon qui passait à la distance $W_1$ de l'axe sort à la distance $W_2$ telle que $W_2/f_2^{\prime }=W_1/f_1^{\prime }$ (même angle de part et d'autre du foyer commun) : $W_2=(f_2^{\prime }/f_1^{\prime })W_1$. Ici, $$\frac{f_2^{\prime }}{f_1^{\prime }}=\frac{0,75\mathrm{m}}{1\times 10^{-3}\mathrm{m}}=750.$$ Le nouveau faisceau, de waist $0,75\mathrm{m}$ : $$z_R^{\prime }=\frac{\pi \times 0,75^2}{532\times 10^{-9}}=3,3\times 10^6\mathrm{m},{\theta }^{\prime }=\frac{532\times 10^{-9}}{\pi \times 0,75}=2,26\times 10^{-7}\mathrm{rad}=\frac{\theta }{750}.$$ Le cylindre s'étend maintenant sur $3300\mathrm{km}$, mais la Lune est encore $116$ fois plus loin : $w(D)=0,75\sqrt{1+116^2}=87\mathrm{m}$. Sans atmosphère, la tache n'aurait que $87\mathrm{m}$ de rayon : multiplier le waist par $750$ divise la divergence par $750$.

3) La turbulence commande. Une seconde d'arc vaut $\frac{\pi }{180\times 3600}=4,85\times 10^{-6}\mathrm{rad}$, vingt fois plus que ${\theta }^{\prime }$ ; la tache a alors pour rayon $4,85\times 10^{-6}\times 3,844\times 10^8=1,9\times 10^3\mathrm{m}$. L'atmosphère limite, et la tache fait près de deux kilomètres de rayon. L'élargisseur reste indispensable : sans lui, la diffraction seule donnerait $65\mathrm{km}$, trente fois plus que la turbulence. Au-delà d'un certain diamètre, élargir encore ne gagne plus rien : c'est l'atmosphère qui fixe la divergence.

4) Combien de photons. La surface du réflecteur est $S=300\times \pi \times (0,019{)}^2=0,34{\mathrm{m}}^2$. L'énergie surfacique au centre d'une tache gaussienne de rayon $w$ vaut, comme l'intensité, $2E/(\pi w^2)$ : la fraction reçue est $$\frac{2S}{\pi w^2}=\frac{2\times 0,34}{\pi \times (1,86\times 10^3{)}^2}=6\times 10^{-8}.$$ Chaque photon a l'énergie $hc/\lambda =3,73\times 10^{-19}\mathrm{J}$ : une impulsion de $100\mathrm{mJ}$ en contient $2,7\times 10^{17}$, dont $1,7\times 10^{10}$ atteignent le réflecteur. Le retour : chaque coin de cube, de $3,8\mathrm{cm}$ seulement, renvoie un faisceau qui diffracte à son tour, sous un angle de l'ordre de $\lambda /(3,8\mathrm{cm})\approx 10^{-5}\mathrm{rad}$ : il revient sur Terre étalé sur plusieurs kilomètres, dont le télescope ne recueille qu'une fraction de l'ordre de $10^{-8}$. Avec la double traversée de l'atmosphère et le rendement des détecteurs, on ne détecte qu'un photon de temps en temps : la télémétrie compte les photons un par un et accumule des milliers d'impulsions.

5) Le chronomètre. L'aller-retour dure $\Delta t=\frac{2D}{c}=\frac{2\times 3,844\times 10^8}{2,998\times 10^8}=2,56\mathrm{s}$. Une variation $\delta D$ de la distance change cette durée de $\delta t=2\delta D/c$ : pour $\delta D=1\mathrm{cm}$, $$\delta t=\frac{2\times 10^{-2}}{2,998\times 10^8}=6,7\times 10^{-11}\mathrm{s}=67\mathrm{ps}.$$ Il faut dater le photon de retour à quelques dizaines de picosecondes près, ce qu'exigent aussi des impulsions très brèves (quelques dizaines de picosecondes, soit quelques centimètres de lumière). Ces mesures ont montré que la Lune s'éloigne de la Terre de près de quatre centimètres par an.

Ce que l'exercice installe. Sur une grande distance, seul compte le cône : la tache a pour rayon $\theta D=\lambda D/(\pi w_0)$. Pour qu'un faisceau diverge peu, il faut l'élargir : l'élargisseur multiplie le waist par $f_2^{\prime }/f_1^{\prime }$ et divise d'autant la divergence ; au-delà, l'atmosphère commande. Et un bilan de photons : énergie surfacique au centre, $2E/(\pi w^2)$, photon par photon.