Du chronogramme à la photographie : le profil renversé

Un haut-parleur placé en $x=0$ dans un long tuyau rempli d'air émet une brève impulsion de surpression, qui se propage vers les $x$ croissants à $c=340\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ sans déformation. En $x=0$, la surpression vaut $p(0,t)=f(t)$, où $f$ est nulle pour $t<0$, croît linéairement de $0$ à $P_0$ entre $t=0$ et ${\theta }_1=1,0$ ms (montée raide), décroît linéairement de $P_0$ à $0$ entre ${\theta }_1$ et ${\theta }_2=4,0$ ms (descente lente), puis reste nulle.

1) Exprimer $p(x,t)$ pour $x>0$. Décrire précisément le chronogramme enregistré par un capteur placé en $x_1=6,8$ m.

2) Décrire précisément la photographie $x\mapsto p(x,t_1)$ à l'instant $t_1=30$ ms : où commence et où finit l'impulsion, où est son maximum, de quel côté se trouve la partie raide ? Montrer qu'en général la photographie s'écrit $F(u)=f(-u/c)$ à une translation près, et interpréter.

3) Un élève affirme : « le front raide ouvre le chronogramme, donc il est à gauche sur la photographie ». Rectifier.

4) Le même haut-parleur rayonne aussi vers les $x<0$, où la surpression vaut $f(t+x/c)$. Décrire la photographie à l'instant $t_1$ pour $x<0$. La photographie est-elle encore renversée par rapport au chronogramme ?

5) Un second capteur est placé en aval, en $x_2=13,6$ m. À l'instant $t_1$, l'impulsion l'a-t-elle atteint ? À partir de la seule photographie de la question 2 et du sens de propagation, reconstituer son chronogramme : début, maximum, fin.