La ola : une onde sans transport de matière

Dans un stade, une « ola » fait le tour des tribunes : chaque spectateur se lève, lève les bras, puis se rassied, un peu après son voisin. Des mesures sur des matchs de football (Farkas, Helbing et Vicsek, Nature, 2002) donnent une célérité de l'ordre de $12\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ et une largeur de vague de 6 à 12 m.

1) Pour chacun des signaux suivants, nommer la grandeur physique qui varie, dire ce qui se déplace d'un bout à l'autre du milieu et ce qui reste sur place : (a) un son dans l'air ; (b) une tension électrique dans un câble coaxial ; (c) une onde radio ; (d) la ola.

2) Modèle de proche en proche. Les sièges sont alignés, espacés de $a=0,60$ m ; on repère un siège par son abscisse $x$ le long de la tribune. Chaque spectateur se lève avec un retard ${\tau }_0$ sur son voisin de gauche. On note $h(x,t)$ la hauteur de la tête du spectateur situé en $x$, et $h(0,t)=h_0(t)$. Exprimer $h(x,t)$ à l'aide de $h_0$, puis la célérité $c$ en fonction de $a$ et ${\tau }_0$.

3) Quelle valeur de ${\tau }_0$ reproduit la célérité mesurée ? Le temps de réaction visuel d'un humain est d'environ $0,2$ s : quelle célérité donnerait un spectateur qui ne réagit qu'à son voisin immédiat ? Qu'en conclure sur la façon dont les spectateurs « voient venir » la vague ?

4) Chaque spectateur reste debout pendant $\Delta t=0,70$ s. Décrire le chronogramme $h(x_1,t)$ d'un siège donné, puis la photographie $h(x,t_1)$ de la tribune à un instant donné. Quelle est la largeur de la vague, en mètres et en nombre de sièges ? Comparer aux observations.

5) Le tour des tribunes mesure $P=500$ m. Combien de temps dure un tour ? De quelle distance un spectateur s'est-il déplacé le long de la tribune pendant ce temps ? Conclure : qu'est-ce qui se propage ?