La vitesse d'un point du milieu se lit sur la photographie

Exercice de TD · niveau 2 · physique des ondes (MPSI), chapitre 1 — Signaux physiques et ondes progressives · C. Évolution temporelle et spatiale

Énoncé

Une corde tendue horizontalement le long de l'axe $(O x)$ est parcourue par une petite déformation transversale ; on note $y (x, t)$ le déplacement vertical du point d'abscisse $x$ . On suppose que la déformation est une onde progressive vers les $x$ croissants, $y (x, t) = F (x - c t)$ , avec $c = 10 m s^{- 1}$ , et que les pentes restent petites : $\frac{\partial y}{\partial x} ≪ 1$ .

1) On note $v_{y} (x, t) = \frac{\partial y}{\partial t}$ la vitesse verticale du point d'abscisse $x$ . Établir, par la dérivation d'une fonction composée, que $v_{y} (x, t) = - c \frac{\partial y}{\partial x} (x, t) .$ Que devient cette relation pour une onde qui se propage vers les $x$ décroissants ?

2) À l'instant $t_{0}$ , la photographie de la corde est une bosse triangulaire de hauteur $h = 1, 0$ cm : $y$ croît linéairement de $0$ en $x = 0$ à $h$ en $x = ℓ_{2} = 20$ cm (pente douce, à l'arrière), puis décroît linéairement jusqu'à $0$ en $x = ℓ_{2} + ℓ_{1} = 25$ cm (pente raide, à l'avant, $ℓ_{1} = 5$ cm). Déterminer la vitesse de chaque point de la corde à l'instant $t_{0}$ et décrire le graphe $x \mapsto v_{y} (x, t_{0})$ .

3) Retrouver le résultat de la question 2 en suivant un seul point de la corde pendant le passage de la bosse. De combien ce point s'est-il déplacé une fois la bosse passée ?

4) Une photographie seule permet-elle de connaître le sens de propagation ? On ne connaît plus ni le sens ni la célérité, mais un capteur indique qu'à l'instant de la photographie le point d'abscisse $22$ cm descend à $2, 0 m s^{- 1}$ . Conclure.

5) Comparer $∣ v_{y} ∣$ à $c$ . Que signifie physiquement l'hypothèse des petites pentes ?

Corrigé

La stratégie. La relation demandée n'est pas une équation à résoudre : c'est la dérivée d'une fonction composée, valable pour toute onde progressive, qui transforme une photographie en information sur le mouvement.

1) La relation. Posons $u = x - c t$ , de sorte que $y (x, t) = F (u)$ . Par la règle de dérivation d'une fonction composée, $\frac{\partial y}{\partial t} = F^{'} (u) \frac{\partial u}{\partial t} = - c F^{'} (x - c t), \frac{\partial y}{\partial x} = F^{'} (u) \frac{\partial u}{\partial x} = F^{'} (x - c t) .$ En éliminant $F^{'} (x - c t)$ : $v_{y} = - c \frac{\partial y}{\partial x}$ . Pour une onde vers les $x$ décroissants, $y = G (x + c t)$ , la même dérivation donne $\frac{\partial y}{\partial t} = + c G^{'}$ et $\frac{\partial y}{\partial x} = G^{'}$ , donc $v_{y} = + c \frac{\partial y}{\partial x} (onde vers les x d e ˊ croissants).$ Homogénéité : la pente est sans dimension, $c \times$ pente est une vitesse. Aucune propriété de la corde n'intervient : seul compte que le profil glisse sans se déformer.

2) Les vitesses à l'instant $t_{0}$ . On lit les pentes sur la photographie.

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