Le bang supersonique

Un avion vole en ligne droite, horizontalement, à l'altitude $h$ et à la vitesse constante $v$. Un observateur $O$ est au sol, à la verticale de la trajectoire. On prend l'origine des temps à l'instant où l'avion passe à la verticale de $O$, et l'on repère l'avion par son abscisse $x_A(t)=vt$ le long de sa trajectoire. L'air est un milieu homogène, immobile et non dispersif, dans lequel le son se propage dans toutes les directions à la célérité $c$.

1) L'avion émet du bruit en permanence. Montrer que le son émis à l'instant $t_e$ parvient en $O$ à l'instant $$t_a(t_e)=t_e+\frac{\sqrt{h^2+v^2{t}_e^2}}{c}.$$

2) On suppose $v<c$. Montrer que $t_a$ est une fonction strictement croissante de $t_e$. Qu'entend l'observateur ?

3) On suppose $v>c$. Montrer que $t_a$ admet un minimum, atteint pour $t_e^{\ast }=-\frac{ch}{v\sqrt{v^2-c^2}}$, et que $$t_{a,\min }=\frac{h\sqrt{v^2-c^2}}{vc}.$$ Avant $t_{a,\min }$, qu'entend l'observateur ? Que se passe-t-il à $t_{a,\min }$ (penser à tous les sons émis pendant un petit intervalle autour de $t_e^{\ast }$) ? Montrer qu'après $t_{a,\min }$, l'observateur reçoit simultanément deux sons émis à des instants différents.

4) Où se trouve l'avion à l'instant $t_{a,\min }$ ? Montrer que la droite qui joint $O$ à l'avion fait alors avec la trajectoire un angle $\alpha$ tel que $\sin \alpha =c/v$. Retrouver ce résultat par une construction : les sons émis aux instants passés occupent des sphères centrées sur les positions passées de l'avion ; montrer qu'elles ont pour enveloppe un cône de demi-angle $\alpha$ (cône de Mach).

5) Application : $h=10$ km, $c=340\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$, $v=2c$. Calculer $\alpha$, la distance horizontale de l'avion au moment du bang, $t_{a,\min }$ et $t_e^{\ast }$. Vérifier l'homogénéité de $t_{a,\min }$ et étudier les cas limites $v\to c^{+}$ et $v\to +\infty$.