Localiser une source avec deux oreilles

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · physique des ondes (MPSI), chapitre 1 — Signaux physiques et ondes progressives · C. Évolution temporelle et spatiale

Énoncé

Deux capteurs ponctuels $M_{1}$ et $M_{2}$ (microphones, ou les deux oreilles d'un auditeur) sont distants de $D$ . Une source sonore $S$ émet un claquement bref ; la célérité du son est $c = 340 m s^{- 1}$ . On repère la direction de la source par l'angle $θ$ qu'elle fait avec la médiatrice de $[M_{1} M_{2}]$ , compté positivement du côté de $M_{1}$ .

1) Champ lointain. La source est très éloignée : au voisinage des capteurs, les fronts d'onde sont des plans perpendiculaires à la direction de propagation. Montrer que le son parcourt jusqu'à $M_{2}$ un chemin plus long que jusqu'à $M_{1}$ de $δ = D sin θ$ , et en déduire le retard $τ$ de $M_{2}$ sur $M_{1}$ . Quelle est sa valeur maximale ?

2) Deux microphones sont distants de $D = 3, 0$ m. On mesure un retard $Δ t = 5, 0$ ms. Calculer la différence de chemin et la direction de la source. Si l'on savait la source dans l'axe $(M_{1} M_{2})$ , quel retard mesurerait-on, et que pourrait-on en déduire ?

3) Montrer que deux directions symétriques par rapport à la droite $(M_{1} M_{2})$ , et plus généralement toutes les directions d'un même cône d'axe $(M_{1} M_{2})$ , donnent le même retard. Comment un auditeur lève-t-il cette ambiguïté ?

4) Pour une tête humaine, on prend $D = 0, 17$ m. Calculer le retard interaural maximal. Le système auditif distingue des retards différant de $δ τ \approx 10 μ s$ . En déduire la plus petite variation d'angle perceptible pour une source située droit devant ( $θ = 0$ ), puis pour une source située sur le côté ( $θ = 9 0^{\circ}$ ). Commenter.

5) Champ proche. La source est à distance finie. Montrer que les positions possibles de $S$ compatibles avec un retard donné forment une courbe (on admet que l'ensemble des points tels que $S M_{2} - S M_{1}$ est constant est une branche d'hyperbole de foyers $M_{1}$ et $M_{2}$ ). Comment retrouve-t-on le résultat de la question 1 loin des capteurs ? Combien de capteurs faut-il pour localiser une source dans un plan ?

Corrigé

La stratégie. Deux capteurs mesurent une différence de distances, par l'intermédiaire d'un retard ; on la traduit en direction — le calcul même des trous d'Young du chapitre 3.

1) La différence de chemin en champ lointain. Les rayons issus de $S$ arrivant en $M_{1}$ et en $M_{2}$ sont parallèles, faisant l'angle $θ$ avec la médiatrice. Le front d'onde qui passe par $M_{1}$ est perpendiculaire à ces rayons ; il coupe le rayon qui va vers $M_{2}$ en un point $H$ . Tous les points d'un même front d'onde sont atteints au même instant ; le son qui arrive en $M_{2}$ doit donc encore parcourir $H M_{2}$ après avoir atteint $H$ . Dans le triangle rectangle $M_{1} H M_{2}$ , d'hypoténuse $M_{1} M_{2} = D$ , l'angle en $M_{1}$ entre le front d'onde et la droite $(M_{1} M_{2})$ est égal à $θ$ (deux angles à côtés perpendiculaires), d'où $δ = H M_{2} = D sin θ, τ = \frac{δ}{c} = \frac{D sin θ}{c} .$ Le retard est maximal pour une source dans l'axe, côté $M_{1}$ ( $θ = 9 0^{\circ}$ ) : $τ_{m a x} = D / c$ . Homogénéité : $D sin θ / c$ est une durée. Cas limites : $θ = 0$ (source sur la médiatrice) donne $τ = 0$ , ce qui est évident par symétrie.

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