Problème : le diagramme de Wadati, dater et localiser un séisme

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · physique des ondes (MPSI), chapitre 1 — Signaux physiques et ondes progressives · B. Propagation : l'onde progressive

Énoncé

Un séisme superficiel émet, à l'instant inconnu $t_{0}$ et depuis un point inconnu (l'épicentre, ramené à la surface), deux types d'ondes : les ondes P (compression), de célérité $c_{P} = 6, 0 km s^{- 1}$ , et les ondes S (cisaillement), de célérité $c_{S}$ inconnue. On modélise la croûte terrestre comme un milieu homogène, non dispersif, et l'on suppose que les ondes vont en ligne droite de l'épicentre aux stations. Quatre stations enregistrent les instants d'arrivée suivants (en secondes après 14 h 32 min 00 s ; positions dans un repère plan, en kilomètres) :

Station	Position (km)	$t_{P}$ (s)	$t_{S}$ (s)
A	$(0; 0)$	$12, 33$	$18, 29$
B	$(100; 0)$	$17, 44$	$27, 04$
C	$(0; 90)$	$13, 72$	$20, 66$
D	$(80; 80)$	$14, 67$	$22, 29$

1) Pourquoi une station enregistre-t-elle deux arrivées pour un séisme unique ? Exprimer $t_{P}$ et $t_{S}$ en fonction de $t_{0}$ et de la distance $d$ de la station à l'épicentre.

2) Montrer que $t_{S} - t_{P} = (\frac{c _{P}}{c _{S}} - 1) (t_{P} - t_{0}),$ et en déduire que les points $(t_{P}, t_{S} - t_{P})$ des quatre stations sont alignés sur une droite, la même pour toutes les stations, quelle que soit leur distance à l'épicentre.

3) Tracer les quatre points (ou effectuer une régression affine, par exemple avec numpy.polyfit). En déduire $c_{P} / c_{S}$ , $c_{S}$ et la date $t_{0}$ du séisme.

4) Calculer la distance de chaque station à l'épicentre. Déterminer les deux positions possibles de l'épicentre à l'aide des seules stations A et B, puis utiliser la station C pour choisir entre elles.

5) Contrôler le résultat avec la station D. Avec quatre stations et trois inconnues (les deux coordonnées de l'épicentre et $t_{0}$ ), comment exploiter toutes les données à la fois ?

6) Ordres de grandeur et limites du modèle : comparer $c_{P} / c_{S}$ à $3 \approx 1, 73$ , valeur typique des roches de la croûte. Pourquoi la méthode cesse-t-elle de valoir telle quelle pour un séisme lointain, à 3000 km ? Quelle erreur sur la date et sur les distances entraîne une imprécision de 0,1 s sur les pointés ?

Corrigé

1) Deux arrivées pour un séisme. Les deux ondes partent ensemble, à l'instant $t_{0}$ , du même point ; elles parcourent la même distance $d$ jusqu'à la station, mais à des célérités différentes. La plus rapide, l'onde P, arrive la première, l'onde S ensuite ; d'où les deux « bouffées » du sismogramme. Le retard de chacune vaut distance sur célérité : $t_{P} = t_{0} + \frac{d}{c _{P}}, t_{S} = t_{0} + \frac{d}{c _{S}} .$

2) La droite de Wadati. Par différence, $t_{S} - t_{P} = d (\frac{1}{c _{S}} - \frac{1}{c _{P}})$ . Or, d'après la première relation, $d = c_{P} (t_{P} - t_{0})$ . En substituant : $t_{S} - t_{P} = c_{P} (t_{P} - t_{0}) (\frac{1}{c _{S}} - \frac{1}{c _{P}}) = (\frac{c _{P}}{c _{S}} - 1) (t_{P} - t_{0}) .$ Dans le plan $(t_{P}, t_{S} - t_{P})$ , c'est l'équation d'une droite de pente $\frac{c _{P}}{c _{S}} - 1$ , qui coupe l'axe des abscisses en $t_{P} = t_{0}$ . La distance $d$ a disparu : la pente ne dépend que du milieu, l'intersection avec l'axe que de la date du séisme. Toutes les stations, proches ou lointaines, sont sur la même droite ; une station lointaine est simplement plus à droite. Le point délicat : on a éliminé l'inconnue $d$ , propre à chaque station, au profit de $t_{P}$ , qui est mesuré. C'est ce qui rend la méthode utilisable avant même de savoir où est l'épicentre.

3) Le tracé. Les quatre points sont $(12, 33; 5, 96)$ , $(17, 44; 9, 60)$ , $(13, 72; 6, 94)$ et $(14, 67; 7, 62)$ . Une régression affine donne la pente et l'ordonnée à l'origine, puis $t_{0} = - ordonn e ˊ e / pente$ ; le même script poursuit jusqu'aux distances et à l'épicentre, utilisés aux questions 4 et 5.

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