Reconnaître une onde progressive

Exercice de TD · niveau 2 · physique des ondes (MPSI), chapitre 1 — Signaux physiques et ondes progressives · B. Propagation : l'onde progressive

Énoncé

On dit qu'un signal $s (x, t)$ est une onde progressive se propageant sans déformation vers les $x$ croissants, à la célérité $c > 0$ , si, pour tous réels $x$ , $t$ et $Δ t$ , $s (x + c Δ t, t + Δ t) = s (x, t) (⋆)$ — « ce qui se trouvait en $x$ à l'instant $t$ se retrouve, intact, en $x + c Δ t$ à l'instant $t + Δ t$ ».

1) Montrer que $(⋆)$ équivaut à l'existence d'une fonction $F$ d'une variable telle que $s (x, t) = F (x - c t)$ pour tous $x$ et $t$ . En déduire qu'on peut aussi écrire $s (x, t) = f (t - x / c)$ , en exprimant $f$ à l'aide de $F$ , et interpréter $F$ et $f$ . Écrire le critère analogue pour une propagation vers les $x$ décroissants.

2) Les signaux suivants sont des ondes progressives ; donner dans chaque cas le sens de propagation et la célérité ( $x$ en mètres, $t$ en secondes, $A$ , $a$ et $θ$ constantes) : $s_{1} = A e^{- (3 x - 6 t)^{2}}, s_{2} = \frac{A}{1 + ( x + 4 t ) ^{2} / a ^{2}}, s_{3} = A e^{- (2 x - t)^{2} / θ^{2}} .$

3) Trois contre-exemples. Avec $a$ , $τ$ , $δ$ et $c$ constantes positives, on considère $s_{4} = A e^{- x^{2} / a^{2}} e^{- t^{2} / τ^{2}}, s_{5} = A e^{- x / δ} e^{- (x - c t)^{2} / a^{2}} (x \geq 0),$ $s_{6} = A \frac{τ}{τ + t} e^{- \frac{( x - c t ) ^{2}}{a ^{2} ( 1 + t / τ )}} (t \geq 0) .$ Pour chacun, montrer que $(⋆)$ est en défaut, décrire ce que l'on verrait, et dire laquelle des hypothèses du modèle (« milieu illimité, non dispersif et transparent », ou l'existence même d'une propagation) il met en défaut.

4) Pour $s_{5}$ et $s_{6}$ , exprimer en fonction du temps la position du sommet, sa hauteur, la largeur du profil et l'aire sous la courbe ; application numérique entre $t = 0$ et $t = 4$ s pour $c = 1 m s^{- 1}$ , $a = 0, 5$ m, $τ = 2$ s, $δ = 3$ m. Avec deux capteurs, pourrait-on encore mesurer une célérité sur $s_{5}$ ?

Corrigé

La stratégie. $(⋆)$ traduit « le profil se translate sans se déformer ». On montre qu'elle équivaut à l'écriture $F (x - c t)$ , qui donne un test pratique, puis on démonte le modèle hypothèse par hypothèse avec des signaux qui ressemblent à des ondes.

1) L'équivalence.

Sens direct. Supposons $(⋆)$ et posons $F (u) = s (u, 0)$ : c'est la photographie à l'instant $0$ . Soient $x$ et $t$ quelconques. Appliquons $(⋆)$ au point d'abscisse $x - c t$ , à l'instant $0$ , avec $Δ t = t$ : $s ((x - c t) + c t, 0 + t) = s (x - c t, 0), c’est- a ˋ -dire s (x, t) = F (x - c t) .$

Sens réciproque. Si $s (x, t) = F (x - c t)$ , alors $s (x + c Δ t, t + Δ t) = F (x + c Δ t - c t - c Δ t) = F (x - c t) = s (x, t)$ : $(⋆)$ est vraie.

L'autre écriture. Posons $f (v) = F (- c v)$ . Alors $F (x - c t) = F (- c (t - x / c)) = f (t - x / c)$ . Et $f (t) = s (0, t)$ : $f$ est le chronogramme en $x = 0$ , comme $F$ était la photographie à $t = 0$ . La relation $f (v) = F (- c v)$ dit déjà que le chronogramme est la photographie renversée et changée d'échelle d'un facteur $c$ : c'est l'objet de l'exercice 5.

Vers les $x$ décroissants. Le critère devient $s (x - c Δ t, t + Δ t) = s (x, t)$ , équivalent de la même façon à $s (x, t) = G (x + c t) = g (t + x / c)$ .

2) Lire le sens et la célérité. Il suffit de mettre en facteur le coefficient de $x$ dans l'argument.

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