Réflexion sur une extrémité fixe : l'onde image

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · physique des ondes (MPSI), chapitre 1 — Signaux physiques et ondes progressives · C. Évolution temporelle et spatiale

Énoncé

Une corde, tendue le long de $(O x)$ , est attachée à un mur en $x = L$ . Une impulsion $y_{i} (x, t) = f (t - x / c)$ arrive de la gauche, de célérité $c$ . On admet le principe de superposition : dans la région $x < L$ , le déplacement est la somme de l'onde incidente et d'une onde réfléchie qui se propage vers les $x$ décroissants, $y (x, t) = f (t - \frac{x}{c}) + g (t + \frac{x}{c}) .$

1) L'extrémité est fixe : $y (L, t) = 0$ pour tout $t$ . Montrer que $g (u) = - f (u - \frac{2 L}{c})$ pour tout $u$ , et que l'onde réfléchie s'écrit $y_{r} (x, t) = - f (t - \frac{2 L - x}{c})$ .

2) Interpréter : montrer que l'onde réfléchie est celle qu'émettrait, sur une corde fictive prolongée au-delà du mur, une source image symétrique de la source réelle par rapport à $x = L$ , avec un signal de signe opposé. Décrire l'aspect de la corde avant, pendant et après la réflexion d'une bosse dissymétrique (front raide en tête).

3) L'impulsion est désormais une bosse triangulaire symétrique, de hauteur $h$ et de largeur totale $2 b$ . À l'instant $t^{*}$ où son sommet atteint l'extrémité, montrer que la corde est plate sur $L - b < x < L$ , et que ses points y vont pourtant deux fois plus vite qu'au passage de l'impulsion seule (utiliser l'exercice 6).

4) L'extrémité est maintenant libre : un anneau de masse négligeable coulisse sans frottement sur une tige verticale. On admet que la condition devient $\frac{\partial y}{\partial x} (L, t) = 0$ pour tout $t$ . Montrer que $g (u) = + f (u - \frac{2 L}{c})$ . Que devient l'écho ? Que vaut le déplacement de l'anneau à l'instant $t^{*}$ de la question 3 ?

5) Deux impulsions identiques se propagent en sens opposés sur une très longue corde et se croisent. Décrire l'instant du croisement selon qu'elles sont de même signe ou de signes opposés. Montrer que ces deux situations reproduisent exactement l'extrémité libre et l'extrémité fixe. Application : une impulsion est lancée en $x = 0$ sur une corde de $5, 0$ m attachée à un mur, avec $c = 10 m s^{- 1}$ ; quand l'écho revient-il en $x = 0$ , et dans quel sens ?

Corrigé

La stratégie. On n'écrit que des ondes progressives. Le mur impose une condition en un seul point, mais pour tous les instants : c'est ce « pour tout $t$ » qui détermine la fonction $g$ .

1) La fonction $g$ . La condition $y (L, t) = 0$ s'écrit, pour tout $t$ , $f (t - \frac{L}{c}) + g (t + \frac{L}{c}) = 0.$ Soit $u$ un réel quelconque ; appliquons cette égalité à l'instant $t = u - L / c$ : $g (u) = - f (u - \frac{2 L}{c})$ . Comme $u$ est quelconque, la fonction $g$ est déterminée. En remplaçant $u$ par $t + x / c$ : $y_{r} (x, t) = g (t + \frac{x}{c}) = - f (t + \frac{x}{c} - \frac{2 L}{c}) = - f (t - \frac{2 L - x}{c}) .$

2) La source image. L'onde incidente vaut, en $x$ , le signal de la source (en $x = 0$ ) retardé de $x / c$ . L'onde réfléchie vaut l'opposé de ce signal retardé de $(2 L - x) / c$ : le retard d'un signal parti de l'abscisse $2 L$ , symétrique de $0$ par rapport au mur, et parcourant $2 L - x$ vers la gauche. Tout se passe comme si une source image, en $x = 2 L$ sur une corde fictive prolongée derrière le mur, émettait le signal $- f$ . La photographie de l'onde réfléchie est donc l'image de celle de l'onde incidente par la symétrie centrale de centre $(L, 0)$ : symétrique par rapport au mur, et retournée.

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