Télémétrie par impulsions : portée et résolution

Exercice de TD · niveau 2 · physique des ondes (MPSI), chapitre 1 — Signaux physiques et ondes progressives · C. Évolution temporelle et spatiale

Énoncé

Un télémètre émet des impulsions de durée $τ$ , répétées à la cadence $f_{r} = 1/ T_{r}$ , et reçoit leurs échos sur les obstacles ; un même transducteur sert à l'émission et à la réception, et ne peut pas écouter pendant qu'il émet. On étudie deux appareils : un capteur de recul de voiture (ultrasons à 40 kHz, $c = 340 m s^{- 1}$ , salves de $τ = 1, 0$ ms, 20 mesures par seconde) et un radar ( $c = 3, 0 \times 1 0^{8} m s^{- 1}$ , $τ = 1, 0 μ$ s, $f_{r} = 1, 0$ kHz).

1) Un mur renvoie l'écho du capteur de recul $12$ ms après le début de l'émission. À quelle distance est-il ?

2) Montrer qu'il existe une distance minimale en dessous de laquelle l'obstacle n'est pas détecté (zone aveugle). La calculer pour les deux appareils.

3) Deux obstacles sont alignés dans la même direction, aux distances $d$ et $d + Δ d$ . À quelle condition leurs deux échos sont-ils séparés ? En déduire la résolution en distance des deux appareils.

4) Montrer qu'au-delà d'une certaine distance, l'appareil ne peut plus savoir à quelle impulsion appartient un écho. Calculer cette portée non ambiguë pour les deux appareils. Le capteur de recul doit détecter des obstacles jusqu'à 3 m : est-ce compatible ? Un avion se trouve à 200 km du radar : à quelle distance l'écran l'affiche-t-il ? Montrer qu'en passant à une cadence de 800 Hz on démasque ce « fantôme ».

5) Résumer en une phrase ce que fixent la durée et la cadence des impulsions. Pourquoi le capteur de recul travaille-t-il à 40 kHz ?

Corrigé

La stratégie. Un écho est un aller-retour, $d = c Δ t /2$ ; on l'applique à des impulsions de durée finie, répétées périodiquement. Chacune des deux durées, $τ$ et $T_{r}$ , fixe une limite de l'appareil.

1) L'écho. L'onde parcourt l'aller et le retour, $2 d$ , pendant $Δ t$ : $d = \frac{c Δ t}{2} = \frac{340 \times 12 \times 1 0 ^{- 3}}{2} \approx 2, 0 m .$ Oublier le facteur $2$ est l'erreur classique : on annoncerait 4 m.

2) La zone aveugle. Tant que l'impulsion n'est pas terminée, le transducteur émet et n'écoute pas ; un écho qui revient avant la fin de l'émission, c'est-à-dire avec $Δ t < τ$ , est perdu. Donc $d_{m i n} = \frac{c τ}{2},$ soit $340 \times 0, 5 \times 1 0^{- 3} = 17$ cm pour le capteur de recul et $3, 0 \times 1 0^{8} \times 0, 5 \times 1 0^{- 6} = 150$ m pour le radar. Un obstacle collé au pare-chocs n'est pas vu ; un radar ne voit pas un avion à moins de 150 m.

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