Ce sont les amplitudes qui s'ajoutent

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · physique des ondes (MPSI), chapitre 5 — Formalisme quantique et quantification de l'énergie · B. Les interférences particule par particule

Énoncé

On envoie des électrons un par un sur deux fentes $F_{1}$ et $F_{2}$ . On note $P_{1} (x)$ la densité de probabilité de détection au point d'abscisse $x$ de l'écran quand seule $F_{1}$ est ouverte, $P_{2} (x)$ quand seule $F_{2}$ est ouverte, et $P_{12} (x)$ quand les deux le sont. On admet que la physique quantique associe à chaque fente une amplitude de probabilité (une fonction d'onde) et que ce sont les amplitudes qui s'additionnent, exactement comme les vibrations lumineuses du chapitre sur les interférences ; il en résulte la formule (analogue de la formule de Fresnel, fournie) $P_{12} (x) = P_{1} (x) + P_{2} (x) + 2 P_{1} (x) P_{2} (x) cos φ (x),$ où $φ (x)$ est le déphasage entre les deux amplitudes au point $x$ .

1) Que vaudrait $P_{12}$ si les électrons étaient de petites billes passant chacune par une fente bien déterminée ? Quel terme distingue la prédiction quantique ?

2) Les fentes sont identiques ( $P_{1} = P_{2}$ au voisinage du centre de l'écran). Montrer qu'il existe des points où $P_{12} < P_{1}$ : en ces points, ouvrir une seconde fente diminue le nombre d'électrons détectés. Pourquoi est-ce inexplicable si chaque électron passe par une seule fente ?

3) La fente $F_{2}$ est plus étroite, et $P_{2} = P_{1} /4$ au voisinage du centre. Exprimer et calculer le contraste $C = \frac{P _{m a x} - P _{m i n}}{P _{m a x} + P _{m i n}}$ de la figure. Comparer au cas de deux trous d'Young d'intensités inégales.

4) On place derrière $F_{2}$ un dispositif qui signale le passage de chaque électron, sans modifier sa trajectoire de façon notable. On observe que les franges disparaissent et que $P_{12} = P_{1} + P_{2}$ . Interpréter qualitativement : que devient le terme d'interférence quand on sait « par quelle fente » l'électron est passé ?

5) Rédiger en quelques lignes ce que représente $∣ ψ ∣^{2}$ dans cette expérience, et ce qu'il ne représente pas.

Corrigé

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La formule fournie, et ce que le chapitre sur les interférences a établi pour la lumière : la formule de Fresnel, le contraste, la condition d'interférences destructives $cos φ = - 1$ . Aucune fonction d'onde n'est à calculer : on raisonne sur la structure de la formule.

1) Des billes. Si chaque électron passe par une fente bien déterminée, l'ensemble des électrons se partage en deux sous-populations : ceux qui passent par $F_{1}$ , distribués selon $P_{1}$ , et ceux qui passent par $F_{2}$ , distribués selon $P_{2}$ . Les probabilités d'événements incompatibles s'additionnent : $P_{12}^{billes} = P_{1} + P_{2}$ . La prédiction quantique comporte en plus le terme d'interférence $2 P_{1} P_{2} cos φ$ , qui peut être positif ou négatif selon le point.

2) Ouvrir une fente peut faire baisser le comptage. Avec $P_{2} = P_{1}$ : $P_{12} = 2 P_{1} (1 + cos φ) .$ Alors $P_{12} < P_{1}$ si et seulement si $1 + cos φ < \frac{1}{2}$ , c'est-à-dire $cos φ < - \frac{1}{2}$ . Ces points existent : ce sont les voisinages des franges sombres, et en une frange sombre exacte ( $cos φ = - 1$ ), $P_{12} = 0$ . En ces points, avec une seule fente ouverte, on détecte des électrons ; avec les deux, on en détecte moins, voire aucun.

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