Énergies de confinement : de la chimie au noyau

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · physique des ondes (MPSI), chapitre 5 — Formalisme quantique et quantification de l'énergie · C. L'inégalité de Heisenberg spatiale

Énoncé

Une particule de masse $m$ confinée dans une région de taille $Δ x$ a, d'après l'inégalité de Heisenberg, une quantité de mouvement dispersée d'au moins $Δ p \sim ℏ/Δ x$ , donc une énergie cinétique d'ordre de grandeur $E_{c} \sim \frac{( Δ p ) ^{2}}{2 m}$ tant que $Δ p ≪ m c$ .

1) Électron confiné dans un atome ( $Δ x \approx 0, 1 nm$ ) : estimer $E_{c}$ en eV. Comparer aux énergies mises en jeu dans les réactions chimiques (quelques eV par liaison).

2) Nucléon (masse $m_{p}$ ) confiné dans un noyau ( $Δ x \approx 2 fm = 2 \times 1 0^{- 15} m$ ) : estimer $E_{c}$ en MeV. Comparer à l'énergie de liaison par nucléon mesurée (environ $8 MeV$ ).

3) En déduire l'ordre de grandeur du rapport entre l'énergie libérée par une réaction nucléaire et par une réaction chimique, à quantité de matière égale. Retrouver ce rapport à partir des seules données $m_{p} / m_{e}$ et du rapport des tailles, sans recalculer.

4) Avant la découverte du neutron (1932), on pensait que le noyau contenait des électrons. Estimer $Δ p$ pour un électron confiné dans $2 fm$ et le comparer à $m_{e} c$ . On admet que pour $p ≫ m c$ , l'énergie vaut $E \approx p c$ (comme pour le photon). Estimer cette énergie et la comparer à l'énergie des électrons émis par radioactivité $β$ (de l'ordre du MeV). Conclure.

5) Un grain de poussière de $1 μ g$ est localisé à $1 μ m$ près : estimer la dispersion de sa vitesse. Commenter.

Corrigé

Stratégie. Une seule formule, $E_{c} \sim ℏ^{2} / (2 m Δ x^{2})$ , appliquée à des échelles qui diffèrent de cinq ordres de grandeur. Tout l'intérêt est dans la loi d'échelle : $E_{c} \propto 1/ (m Δ x^{2})$ .

1) L'échelle chimique. $E_{c} \sim \frac{( 1 , 055 \times 1 0 ^{- 34} ) ^{2}}{2 \times 9 , 11 \times 1 0 ^{- 31} \times ( 1 \times 1 0 ^{- 10} ) ^{2}} = 6, 1 \times 1 0^{- 19} J \approx 3, 8 eV .$ C'est l'ordre de grandeur des énergies de liaison chimique et des énergies d'ionisation : l'énergie de confinement des électrons fixe l'échelle de la chimie. On vérifie au passage que $Δ p = ℏ/Δ x \approx 1 \times 1 0^{- 24} kg m s^{- 1} ≪ m_{e} c = 2, 7 \times 1 0^{- 22} kg m s^{- 1}$ : le traitement non relativiste est justifié.

2) L'échelle nucléaire. $E_{c} \sim \frac{( 1 , 055 \times 1 0 ^{- 34} ) ^{2}}{2 \times 1 , 67 \times 1 0 ^{- 27} \times ( 2 \times 1 0 ^{- 15} ) ^{2}} = 8, 3 \times 1 0^{- 13} J \approx 5, 2 MeV .$ C'est le même ordre de grandeur que l'énergie de liaison par nucléon, environ $8 MeV$ : les nucléons, confinés dans le noyau, ont des énergies de quelques MeV, et la force nucléaire qui les retient doit mettre en jeu des énergies comparables.

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