Heisenberg par la diffraction, et la tache la plus fine

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · physique des ondes (MPSI), chapitre 5 — Formalisme quantique et quantification de l'énergie · C. L'inégalité de Heisenberg spatiale

Énoncé

Un faisceau parallèle de particules, de quantité de mouvement $p = p u_{z}$ , traverse une fente de largeur $a$ percée dans un écran perpendiculaire à $(O z)$ , la fente étant parallèle à $(O y)$ . On observe les impacts sur un détecteur situé à la distance $D$ derrière la fente.

1) Avant la fente, que valent la composante $p_{x}$ et son incertitude ? Après la fente, quelle est l'incertitude $Δ x$ sur la position transverse ? En utilisant la relation de de Broglie et le résultat de diffraction $sin θ \approx λ / a$ (demi-largeur angulaire de la tache centrale), estimer la dispersion $Δ p_{x}$ acquise par les particules. En déduire l'inégalité de Heisenberg spatiale en ordre de grandeur. Pourquoi un facteur $2 π$ entre $h$ et $ℏ$ est-il sans importance ici ?

2) On veut obtenir sur le détecteur la tache la plus fine possible. On estime la largeur de la tache par $ℓ (a) = a + \frac{2 λ D}{a}$ . Justifier chacun des deux termes. Montrer qu'il existe une largeur de fente optimale $a^{⋆}$ , l'exprimer ainsi que $ℓ_{m i n}$ . Que valent les deux termes à l'optimum ?

3) Calculer $a^{⋆}$ et $ℓ_{m i n}$ pour : un laser hélium-néon ( $λ = 633 nm$ , $D = 1, 0 m$ ) ; des électrons accélérés sous $100 V$ ( $D = 1, 0 m$ ) ; une balle de masse $50 g$ lancée à $10 m s^{- 1}$ ( $D = 10 m$ ). Commenter le dernier cas.

4) Interpréter l'optimum en termes de compromis entre localisation et dispersion de la quantité de mouvement. L'inégalité de Heisenberg est-elle un défaut des instruments de mesure ?

Corrigé

Stratégie. On suit la méthode du cours — la particule, onde de longueur d'onde $λ = h / p$ , se diffracte — puis on transforme l'inégalité en un problème d'optimisation simple, où les deux effets antagonistes se compensent.

1) L'établissement. Avant la fente, $p_{x} = 0$ exactement ( $Δ p_{x} = 0$ ), mais la position transverse est inconnue. Après la fente, elle est connue à $Δ x \approx a$ près. L'onde de de Broglie, $λ = h / p$ , est diffractée : la plupart des particules ressortent dans la tache centrale, de demi-largeur angulaire $θ$ telle que $sin θ \approx λ / a$ . Une particule déviée de l'angle $θ$ a une composante $p_{x} = p sin θ$ , de sorte que les valeurs de $p_{x}$ s'étalent sur $Δ p_{x} \approx p sin θ \approx \frac{h}{λ} \cdot \frac{λ}{a} = \frac{h}{a} .$ D'où $Δ x Δ p_{x} \approx h$ . Comme certaines particules sont déviées au-delà de la tache centrale, la dispersion réelle est au moins de cet ordre : $Δ x Δ p_{x} ≳ ℏ (en ordre de grandeur) .$ Le facteur $2 π \approx 6$ entre $h$ et $ℏ$ dépend de la définition précise de $Δ x$ et $Δ p_{x}$ (demi-largeur, largeur totale, écart type…) ; un argument par la diffraction ne peut pas fixer de tels facteurs. Seul l'ordre de grandeur a un sens : c'est exactement la forme sous laquelle le programme demande l'inégalité.

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