L'atome classique s'effondre en $1 0^{- 11}$ s

Exercice de TD · niveau 2 · physique des ondes (MPSI), chapitre 5 — Formalisme quantique et quantification de l'énergie · D. La quantification de l'énergie : le modèle de Bohr

Énoncé

Dans le modèle planétaire classique, l'électron de l'atome d'hydrogène décrit une orbite circulaire autour du proton. L'électromagnétisme classique enseigne qu'une charge $q$ dont l'accélération vaut $a$ rayonne la puissance (formule de Larmor, fournie) $P = \frac{q ^{2} a ^{2}}{6 π ε _{0} c ^{3}} .$

1) Vérifier l'homogénéité de la formule de Larmor.

2) Pour l'orbite de rayon $a_{0}$ , calculer la vitesse $v$ de l'électron (principe fondamental de la dynamique), son accélération, sa période de révolution et la puissance rayonnée.

3) L'énergie mécanique de l'électron sur cette orbite vaut $- 13, 6 eV$ . En supposant $P$ constante, estimer la durée $τ$ au bout de laquelle l'électron aurait rayonné une énergie de cet ordre. (Un calcul exact, qui tient compte de l'augmentation de $P$ quand le rayon diminue, donne $τ = 1, 6 \times 1 0^{- 11} s$ .) Combien de tours l'électron effectue-t-il pendant ce temps ?

4) Quand le rayon diminue, que devient la fréquence de révolution, donc la fréquence de l'onde émise ? Quel spectre l'atome classique devrait-il émettre ? Que montre l'expérience ?

5) Comment le modèle de Bohr règle-t-il ces deux difficultés ? En quoi sa réponse est-elle un postulat et non une explication ?

Corrigé

Stratégie. Un ordre de grandeur suffit à condamner le modèle planétaire classique : on compare l'énergie disponible à la puissance perdue.

1) Homogénéité. L'énergie potentielle de Coulomb, $\frac{q ^{2}}{4 π ε _{0} r}$ , est une énergie : $\frac{q ^{2}}{ε _{0}}$ s'exprime donc en $J m$ . Alors $[\frac{q ^{2} a ^{2}}{ε _{0} c ^{3}}] = J m \times \frac{m ^{2} s ^{- 4}}{m ^{3} s ^{- 3}} = J s^{- 1} = W .$ C'est bien une puissance.

2) Sur l'orbite de Bohr. Le principe fondamental de la dynamique, projeté sur la normale au cercle, donne $m_{e} \frac{v ^{2}}{a _{0}} = \frac{e ^{2}}{4 π ε _{0} a _{0}^{2}}$ , d'où $v = \frac{e ^{2}}{4 π ε _{0} m _{e} a _{0}} = 2, 19 \times 1 0^{6} m s^{- 1}, a = \frac{v ^{2}}{a _{0}} = 9, 0 \times 1 0^{22} m s^{- 2},$ $T = \frac{2 π a _{0}}{v} = 1, 5 \times 1 0^{- 16} s,$ $P = \frac{e ^{2} a ^{2}}{6 π ε _{0} c ^{3}} = \frac{( 1 , 60 \times 1 0 ^{- 19} ) ^{2} \times ( 9 , 0 \times 1 0 ^{22} ) ^{2}}{6 π \times 8 , 85 \times 1 0 ^{- 12} \times ( 3 , 00 \times 1 0 ^{8} ) ^{3}} \approx 4, 6 \times 1 0^{- 8} W .$ L'accélération vaut $1 0^{22}$ fois celle de la pesanteur.

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L'atome classique s'effondre en 10−11 s

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