L'atome de Bohr comme onde stationnaire

Exercice · niveau 3 (difficile) · physique des ondes (MPSI), chapitre 5 — Formalisme quantique et quantification de l'énergie

Énoncé

de Broglie a justifié la quantification de Bohr ( $m v r = n ℏ$ ) en imaginant l'électron comme une onde qui doit « se refermer » sur son orbite.

Partant de $m v r = n ℏ$ et de $λ = h / (m v)$ , montrer que la circonférence de l'orbite vaut $2 π r = nλ$ .

Interpréter : pourquoi seules certaines orbites sont-elles permises ?

Pour l'état fondamental ( $n = 1$ , $r_{1} = a_{0} = 0.53 \times 1 0^{- 10} m$ ), vérifier que la circonférence vaut exactement une longueur d'onde de de Broglie.

Corrigé

1. $m v r = n ℏ = n \frac{h}{2 π} \Rightarrow 2 π r = n \frac{h}{m v} = nλ$ (avec $λ = h / (m v)$ ).

2. L'onde associée à l'électron ne se renforce (interférence constructive sur elle-même) que si la circonférence contient un nombre entier de longueurs d'onde : c'est une onde stationnaire le long de l'orbite. Les autres orbites s'auto-détruisent par interférences destructives : d'où la quantification.

3. $n = 1$ : $2 π r_{1} = 2 π \times 0, 53 \times 1 0^{- 10} \approx 3.3 \times 1 0^{- 10} m$ . La longueur d'onde de de Broglie de l'électron sur cette orbite ( $v_{1} \approx 2.2 \times 1 0^{6} m / s$ ) vaut $λ = h / (m_{e} v_{1}) \approx 3.3 \times 1 0^{- 10} m$ : la circonférence contient bien une longueur d'onde, comme attendu pour $n = 1$ .

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