Le principe de combinaison de Ritz

Exercice de TD · niveau 2 · physique des ondes (MPSI), chapitre 5 — Formalisme quantique et quantification de l'énergie · D. La quantification de l'énergie : le modèle de Bohr

Énoncé

On a mesuré, dans le vide, les longueurs d'onde suivantes du spectre de l'hydrogène : dans l'ultraviolet, les deux premières raies de la série de Lyman, $λ_{Lα} = 121, 57 nm$ et $λ_{L β} = 102, 57 nm$ , et la limite de cette série, $λ_{L \infty} = 91, 18 nm$ ; dans le visible, les deux premières raies de la série de Balmer, $λ_{H α} = 656, 47 nm$ et $λ_{H β} = 486, 27 nm$ . On ne suppose aucun modèle de l'atome.

1) Calculer $\frac{1}{λ _{L β}} - \frac{1}{λ _{Lα}}$ et comparer à $\frac{1}{λ _{H α}}$ . Cette relation entre « nombres d'onde » est le principe de combinaison énoncé par Ritz (1908). Montrer qu'il s'explique simplement si l'atome possède des niveaux d'énergie $E_{1} < E_{2} < E_{3} < \dots$ et si chaque raie correspond à un photon d'énergie égale à la différence de deux niveaux. Identifier les niveaux de départ et d'arrivée des trois raies.

2) Prédire, par le même principe, la longueur d'onde de la transition entre les niveaux $4$ et $3$ (première raie de la série de Paschen). Dans quel domaine se situe-t-elle ?

3) Interpréter la limite de la série de Lyman. En déduire l'énergie d'ionisation de l'atome d'hydrogène dans son état fondamental, puis, en prenant l'origine des énergies à l'électron libre au repos, les valeurs de $E_{1}$ , $E_{2}$ et $E_{3}$ en eV. Quelle loi simple ces trois valeurs suggèrent-elles ?

4) Le spectre d'une étoile présente des raies sombres à $656, 5 nm$ et $486, 3 nm$ . Que peut-on en conclure sur la composition de son atmosphère ? Ces raies d'absorption partent du niveau $2$ , et non du niveau fondamental : qu'est-ce que cela suggère sur l'état de l'atmosphère ? Pourquoi n'étudie-t-on pas la série de Lyman avec un télescope au sol ?

Corrigé

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La relation de Planck-Einstein $E = h ν = h c / λ$ , et la conservation de l'énergie lors de l'émission d'un photon. Aucun modèle de l'atome : on lit les niveaux dans le spectre.

1) La combinaison. $\frac{1}{102 , 57} - \frac{1}{121 , 57} = 9, 7494 \times 1 0^{- 3} - 8, 2257 \times 1 0^{- 3} = 1, 5237 \times 1 0^{- 3} n m^{- 1},$ soit une longueur d'onde de $656, 3 nm$ , contre $656, 47 nm$ mesurés : l'accord est à $0, 03$ % près, ce qu'autorise l'arrondi des données. Le nombre d'onde de $H α$ est la différence de ceux de $L β$ et $Lα$ .

Si une raie correspond à la transition d'un niveau $E_{n}$ vers un niveau $E_{p} < E_{n}$ , le photon emportant $E_{n} - E_{p} = h c / λ$ , alors $\frac{1}{λ} = \frac{E _{n} - E _{p}}{h c}$ est une différence de deux termes. Si $Lα$ correspond à $2 \to 1$ et $L β$ à $3 \to 1$ , alors $\frac{1}{λ _{L β}} - \frac{1}{λ _{Lα}} = \frac{( E _{3} - E _{1} ) - ( E _{2} - E _{1} )}{h c} = \frac{E _{3} - E _{2}}{h c},$ qui est le nombre d'onde de la transition $3 \to 2$ : c'est $H α$ . Le principe de Ritz est la traduction directe de la conservation de l'énergie dans un atome à niveaux discrets. La série de Lyman aboutit au niveau $1$ , la série de Balmer au niveau $2$ .

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