Les hydrogénoïdes : série de Pickering et loi de Moseley

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · physique des ondes (MPSI), chapitre 5 — Formalisme quantique et quantification de l'énergie · D. La quantification de l'énergie : le modèle de Bohr

Énoncé

Un ion hydrogénoïde est un noyau de charge $+ Z e$ autour duquel ne gravite qu'un seul électron ( $H e^{+}$ pour $Z = 2$ , $L i^{2 +}$ pour $Z = 3$ …). On néglige le mouvement du noyau. On admet les résultats du modèle de Bohr pour l'hydrogène : $r_{n} = n^{2} a_{0}$ avec $a_{0} = \frac{4 π ε _{0} ℏ ^{2}}{m _{e} e ^{2}}$ , et $E_{n} = - \frac{E _{0}}{n ^{2}}$ avec $E_{0} = \frac{e ^{2}}{8 π ε _{0} a _{0}} = 13, 6 eV$ ; et la formule $\frac{1}{λ} = R_{H} (\frac{1}{p ^{2}} - \frac{1}{n ^{2}})$ pour les raies de l'hydrogène, avec $R_{H} = 1, 097 \times 1 0^{7} m^{- 1}$ .

1) Reprendre le modèle de Bohr en remplaçant $e^{2}$ par $Z e^{2}$ dans la force de Coulomb. Sans refaire tout le calcul, montrer par un argument d'échelle que $r_{n} = \frac{n ^{2} a _{0}}{Z}$ et $E_{n} = - \frac{Z ^{2} E _{0}}{n ^{2}}$ . Calculer l'énergie d'ionisation de $H e^{+}$ (valeur mesurée : $54, 4 eV$ ).

2) En 1896, Pickering observe dans le spectre de l'étoile $ζ$ Puppis une série de raies qu'il attribue à l'hydrogène. Montrer que pour $H e^{+}$ les transitions $n \to 4$ ont pour nombres d'onde $\frac{1}{λ} = R_{H} (\frac{1}{4} - \frac{1}{( n /2 ) ^{2}})$ . En déduire que les transitions issues de $n$ pair coïncident avec les raies de Balmer de l'hydrogène, tandis que celles issues de $n$ impair s'intercalent entre elles. Calculer les raies $n = 5$ à $10$ . Pourquoi l'attribution de Pickering était-elle naturelle, et pourquoi Bohr put-il la corriger ?

3) Dans un atome lourd, un électron de la couche la plus profonde ( $n = 1$ ) ne voit presque que le noyau. Quand un trou est créé dans cette couche, un électron de la couche $n = 2$ y descend en émettant un photon X (raie $K_{α}$ ). En 1913, Moseley constate que l'énergie de cette raie suit, pour une longue suite d'éléments, $E_{K α} \approx \frac{3}{4} E_{0} (Z - 1)^{2}$ . Interpréter le facteur $\frac{3}{4}$ et le remplacement de $Z$ par $Z - 1$ . Calculer $E_{K α}$ pour le cuivre ( $Z = 29$ ; valeur mesurée : $8, 05 keV$ ) et le fer ( $Z = 26$ ; $6, 40 keV$ ).

4) Pourquoi la loi de Moseley a-t-elle permis de classer les éléments par leur numéro atomique plutôt que par leur masse ? Qu'est-ce que le modèle de Bohr ne permet pas de calculer dans un atome à plusieurs électrons ?

Corrigé

Stratégie. On ne refait aucun calcul : on suit où $e^{2}$ intervient dans les formules de Bohr, et l'on remplace. C'est la méthode des lois d'échelle, qui transforme un résultat en famille de résultats.

1) Les lois d'échelle. La charge n'intervient dans les formules de Bohr que par le produit $e^{2}$ de la force de Coulomb ; pour un noyau $Z e$ , on remplace $e^{2}$ par $Z e^{2}$ . Le rayon de Bohr, inversement proportionnel à $e^{2}$ , devient $a_{0} / Z$ ; l'énergie $E_{0} = \frac{e ^{2}}{8 π ε _{0} a _{0}}$ est proportionnelle à $e^{2} \times \frac{1}{a _{0}}$ , donc à $(e^{2})^{2}$ , et devient $Z^{2} E_{0}$ : $r_{n} = \frac{n ^{2} a _{0}}{Z}, E_{n} = - \frac{Z ^{2} E _{0}}{n ^{2}} .$ Le noyau plus chargé attire l'électron plus près et le lie plus fort ( $Z^{2}$ : un facteur $Z$ pour la charge, un autre pour la distance). Pour $H e^{+}$ , $E_{ion} = 4 \times 13, 6 = 54, 4 eV$ : exactement la valeur mesurée. Le modèle de Bohr marche pour tout système à un seul électron.

2) La série de Pickering. Pour $H e^{+}$ , les nombres d'onde sont multipliés par $Z^{2} = 4$ : $\frac{1}{λ} = 4 R_{H} (\frac{1}{16} - \frac{1}{n ^{2}}) = R_{H} (\frac{1}{4} - \frac{4}{n ^{2}}) = R_{H} (\frac{1}{4} - \frac{1}{( n /2 ) ^{2}}) .$ Pour $n = 2 k$ pair, $\frac{1}{( n /2 ) ^{2}} = \frac{1}{k ^{2}}$ : on retrouve exactement la formule de Balmer de l'hydrogène, $R_{H} (\frac{1}{4} - \frac{1}{k ^{2}})$ . Pour $n$ impair, $n /2$ est un demi-entier, et la raie tombe entre deux raies de Balmer. Valeurs :

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