Lire une densité de probabilité

Exercice de TD · niveau 2 · physique des ondes (MPSI), chapitre 5 — Formalisme quantique et quantification de l'énergie · A. La fonction d'onde et l'interprétation probabiliste

Énoncé

Une particule de masse $m$ est confinée sur un segment $[0, L]$ de l'axe $(O x)$ (modèle d'un électron dans une molécule linéaire). On rappelle que la probabilité de la détecter entre $x$ et $x + d x$ vaut $∣ ψ (x) ∣^{2} d x$ .

1) On imagine d'abord un état où $∣ ψ (x) ∣^{2}$ vaut une constante $C$ sur $[0, L]$ et $0$ ailleurs. Déterminer $C$ ; quelle est sa dimension ? Quelle est la probabilité de détecter la particule dans un intervalle $[x_{1}, x_{2}] \subset [0, L]$ ? Montrer que c'est aussi la répartition attendue pour une bille classique faisant des allers-retours à vitesse constante entre deux murs.

2) La théorie quantique (qu'on ne demande pas d'établir) montre que les états d'énergie bien définie sont repérés par un entier $n \geq 1$ , et que la densité de probabilité de l'état $n$ est donnée par $ρ_{n} (x) = ∣ ψ_{n} (x) ∣^{2} = \frac{2}{L} sin^{2} (\frac{nπ x}{L}) pour 0 \leq x \leq L, ρ_{n} (x) = 0 ailleurs .$ Vérifier la dimension de $ρ_{n}$ . Décrire l'allure de $ρ_{1}$ et de $ρ_{2}$ : positions les plus probables, points où la particule n'est jamais détectée (nœuds).

3) Calculer la probabilité $P_{n}$ de détecter la particule dans la moitié centrale $[\frac{L}{4}, \frac{3 L}{4}]$ . Donner $P_{1}$ , $P_{2}$ , $P_{3}$ , et comparer à la prédiction classique de la question 1. Que devient $P_{n}$ quand $n \to + \infty$ ? Commenter.

4) Dans l'état $n = 2$ , quelle est la position moyenne de la particule ? Quelle est la densité de probabilité en ce point ? Peut-on concilier ce résultat avec l'idée que la particule suit une trajectoire continue allant d'une moitié du segment à l'autre ?

5) Rédiger en trois phrases ce que représente $∣ ψ ∣^{2}$ et ce qu'il ne représente pas.

Corrigé

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La définition de la densité de probabilité, la condition de normalisation $\int ∣ ψ ∣^{2} d x = 1$ , et une intégrale de sinus carré, qu'on linéarise. Aucune propriété de la fonction d'onde n'est à établir : on lit une densité donnée.

1) L'état uniforme. La particule est sûrement quelque part sur $[0, L]$ , donc $\int_{0}^{L} C d x = C L = 1, C = \frac{1}{L} .$ Une probabilité est un nombre sans dimension ; $∣ ψ ∣^{2} d x$ en est une, donc $∣ ψ ∣^{2}$ s'exprime en $m^{- 1}$ : c'est une probabilité par unité de longueur, exactement comme une masse linéique est une masse par unité de longueur. La probabilité cherchée est l'aire sous la densité : $P ([x_{1}, x_{2}]) = \int_{x_{1}}^{x_{2}} \frac{d x}{L} = \frac{x _{2} - x _{1}}{L} .$ Pour la bille classique à vitesse constante $v$ , la fraction du temps passée dans $[x_{1}, x_{2}]$ est, sur un aller, $\frac{( x _{2} - x _{1} ) / v}{L / v} = \frac{x _{2} - x _{1}}{L}$ : si l'on « photographie » la bille à un instant pris au hasard, on la trouve dans $[x_{1}, x_{2}]$ avec cette probabilité. La densité classique est donc uniforme, égale à $1/ L$ .

2) Lecture des densités. Le sinus carré est sans dimension et $2/ L$ est en $m^{- 1}$ : $ρ_{n}$ a bien la dimension d'une densité de probabilité linéique.

Pour $n = 1$ : $ρ_{1}$ est nulle aux murs, maximale en $x = L /2$ , où elle vaut $2/ L$ , deux fois la densité classique.
Pour $n = 2$ : $sin^{2} (2 π x / L)$ s'annule en $x = 0$ , $x = L /2$ et $x = L$ , et vaut $1$ en $x = L /4$ et $x = 3 L /4$ . Il y a deux positions les plus probables, et un nœud au milieu : la densité y est nulle, la particule n'y est jamais détectée.
En général, $ρ_{n}$ présente $n$ maximums et $n - 1$ nœuds intérieurs.

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