Pourquoi l'atome ne s'effondre pas : sa taille par Heisenberg

Exercice de TD · niveau 2 · physique des ondes (MPSI), chapitre 5 — Formalisme quantique et quantification de l'énergie · C. L'inégalité de Heisenberg spatiale

Énoncé

Dans l'atome d'hydrogène, l'électron est attiré par le proton ; classiquement, rien ne l'empêche de « tomber » sur lui. On se propose d'estimer, par l'inégalité de Heisenberg en ordre de grandeur, la taille et l'énergie de l'atome.

1) On suppose l'électron localisé dans une région de taille $r$ autour du proton. Estimer la dispersion $Δ p$ de sa quantité de mouvement, puis l'ordre de grandeur de son énergie cinétique, en prenant $p \sim Δ p$ . Que se passerait-il si l'électron « tombait » sur le noyau ( $r \to 0$ ) ?

2) On estime l'énergie de l'atome par $E (r) = \frac{ℏ ^{2}}{2 m _{e} r ^{2}} - \frac{e ^{2}}{4 π ε _{0} r}$ . Interpréter chacun des deux termes et leur comportement quand $r \to 0$ et quand $r \to + \infty$ . Montrer que $E (r)$ admet un minimum, et calculer le rayon $r^{⋆}$ et l'énergie $E (r^{⋆})$ correspondants. Comparer au rayon de Bohr et à l'énergie d'ionisation mesurée ( $13, 6 eV$ ).

3) Reprendre le calcul avec l'estimation $Δ p \sim \frac{ℏ}{2 r}$ , tout aussi légitime. Que deviennent $r^{⋆}$ et $E (r^{⋆})$ ? Que faut-il en conclure sur le statut de l'accord obtenu à la question 2 ?

4) Comparer la taille trouvée à celle d'un noyau (de l'ordre de $1 0^{- 15} m$ ). Quelle est la conséquence pour la matière ordinaire ?

Corrigé

Ce qu'on a le droit d'utiliser. L'inégalité de Heisenberg en ordre de grandeur, $Δ p Δ x ≳ ℏ$ , l'énergie cinétique newtonienne et l'énergie potentielle de Coulomb. Aucune fonction d'onde : c'est un argument d'échelle.

1) Le prix de la localisation. Localisé dans une région de taille $Δ x \sim r$ , l'électron a une quantité de mouvement dispersée d'au moins $Δ p \sim ℏ/ r$ . Sa quantité de mouvement moyenne est nulle (l'atome ne se déplace pas), mais elle fluctue d'une quantité de cet ordre : sa valeur typique est $p \sim Δ p$ , et l'énergie cinétique est de l'ordre de $E_{c} \sim \frac{( Δ p ) ^{2}}{2 m _{e}} \sim \frac{ℏ ^{2}}{2 m _{e} r ^{2}} .$ Si l'électron tombait sur le noyau, $r \to 0$ imposerait $E_{c} \to + \infty$ : le confinement coûte une énergie cinétique qui croît comme $1/ r^{2}$ . C'est l'inégalité de Heisenberg qui interdit l'effondrement.

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