Problème : le modèle de Bohr de l'atome d'hydrogène, niveaux d'énergie et formule de Balmer-Rydberg

Exercice de TD · niveau 3 (difficile) · physique des ondes (MPSI), chapitre 5 — Formalisme quantique et quantification de l'énergie · D. La quantification de l'énergie : le modèle de Bohr

Énoncé

On modélise l'atome d'hydrogène par un électron (masse $m_{e}$ , charge $- e$ ) en mouvement circulaire uniforme de rayon $r$ autour du proton, supposé fixe, sous l'effet de la seule force de Coulomb.

1) Montrer, par le principe fondamental de la dynamique, que $m_{e} v^{2} = \frac{e ^{2}}{4 π ε _{0} r}$ , puis que l'énergie mécanique vaut $E_{m} = - \frac{e ^{2}}{8 π ε _{0} r} = - \frac{1}{2} m_{e} v^{2}$ . La mécanique classique impose-t-elle une valeur de $r$ ?

2) Bohr postule que le moment cinétique orbital est quantifié : $m_{e} v r = n ℏ$ , $n \in N^{*}$ . En déduire $r_{n} = n^{2} a_{0}$ et $v_{n} = v_{1} / n$ , avec $a_{0}$ et $v_{1}$ à exprimer. Calculer $a_{0}$ et $v_{1}$ , puis $v_{1} / c$ . Le traitement non relativiste est-il justifié ?

3) En déduire $E_{n} = - E_{0} / n^{2}$ ; exprimer et calculer $E_{0}$ en eV. Que vaut l'énergie d'ionisation de l'atome dans son état fondamental (valeur mesurée : $13, 598 eV$ ) ?

4) Montrer que la longueur d'onde du photon émis lors de la transition $n \to p$ ( $n > p$ ) vérifie $\frac{1}{λ} = R_{H} (\frac{1}{p ^{2}} - \frac{1}{n ^{2}})$ et exprimer $R_{H}$ . Avec les constantes connues à six chiffres, on trouve $R_{H} = 1, 09737 \times 1 0^{7} m^{- 1}$ ; la valeur mesurée est $1, 09678 \times 1 0^{7} m^{- 1}$ : commenter l'écart en une phrase (on donne $m_{e} / m_{p} = 1/1 836$ ). Calculer les quatre premières raies de la série de Balmer ( $p = 2$ ) et sa limite. Pourquoi l'œil n'en voit-il que quatre ?

5) Montrer que la condition de Bohr équivaut à $2 π r_{n} = n λ_{n}$ , où $λ_{n}$ est la longueur d'onde de de Broglie de l'électron sur l'orbite $n$ . Vérifier numériquement pour $n = 1$ . Proposer une interprétation ondulatoire de la quantification.

6) Avec $Δ x \sim r_{n}$ , estimer par l'inégalité de Heisenberg la dispersion $Δ p$ et la comparer à $p_{n} = m_{e} v_{n}$ . Que penser de la notion de trajectoire pour $n = 1$ ? Citer deux autres limites du modèle. Énoncer le résultat établi.

Corrigé

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La mécanique du point (mouvement circulaire uniforme, énergie potentielle newtonienne), les relations de Planck-Einstein et de de Broglie, Heisenberg en ordre de grandeur ; le seul ingrédient nouveau est le postulat de Bohr. C'est la capacité exigible du programme : « exploiter l'hypothèse de quantification du moment cinétique orbital pour obtenir l'expression des niveaux d'énergie électronique de l'atome d'hydrogène ».

1) L'orbite classique. Dans le référentiel du proton, supposé galiléen, l'électron subit la force de Coulomb, centrale et attractive, de norme $\frac{e ^{2}}{4 π ε _{0} r ^{2}}$ . En mouvement circulaire uniforme, l'accélération est centripète, de norme $v^{2} / r$ . Le principe fondamental de la dynamique, projeté sur le vecteur radial, donne $m_{e} \frac{v ^{2}}{r} = \frac{e ^{2}}{4 π ε _{0} r ^{2}} d’o u ˋ m_{e} v^{2} = \frac{e ^{2}}{4 π ε _{0} r} .$ L'énergie potentielle de l'interaction coulombienne attractive est $E_{p} = - \frac{e ^{2}}{4 π ε _{0} r}$ (nulle à l'infini). Donc $E_{m} = \frac{1}{2} m_{e} v^{2} - \frac{e ^{2}}{4 π ε _{0} r} = \frac{1}{2} \frac{e ^{2}}{4 π ε _{0} r} - \frac{e ^{2}}{4 π ε _{0} r} = - \frac{e ^{2}}{8 π ε _{0} r} = - \frac{1}{2} m_{e} v^{2} .$ Comme pour toute orbite circulaire dans un champ newtonien, $E_{c} = - E_{p} /2$ . La mécanique classique n'impose aucune valeur de $r$ : tout rayon est permis, avec la vitesse correspondante, et l'énergie varie continûment.

2) La quantification. On dispose de deux relations : $m_{e} v^{2} r = \frac{e ^{2}}{4 π ε _{0}}$ (question 1) et $m_{e} v r = n ℏ$ (postulat). En divisant la première par la seconde : $v_{n} = \frac{e ^{2}}{4 π ε _{0} ℏ} \cdot \frac{1}{n} = \frac{v _{1}}{n}, v_{1} = \frac{e ^{2}}{4 π ε _{0} ℏ} .$ Puis $r_{n} = \frac{n ℏ}{m _{e} v _{n}} = \frac{n ^{2} ℏ}{m _{e} v _{1}}$ , soit $r_{n} = n^{2} a_{0}, a_{0} = \frac{4 π ε _{0} ℏ ^{2}}{m _{e} e ^{2}} .$ Numériquement : $a_{0} = \frac{4 π \times 8 , 85 \times 1 0 ^{- 12} \times ( 1 , 055 \times 1 0 ^{- 34} ) ^{2}}{9 , 11 \times 1 0 ^{- 31} \times ( 1 , 60 \times 1 0 ^{- 19} ) ^{2}} = 5, 31 \times 1 0^{- 11} m,$ soit $0, 529 \times 1 0^{- 10} m$ avec les constantes exactes : le rayon de Bohr ; $v_{1} = \frac{( 1 , 60 \times 1 0 ^{- 19} ) ^{2}}{4 π \times 8 , 85 \times 1 0 ^{- 12} \times 1 , 055 \times 1 0 ^{- 34}} = 2, 18 \times 1 0^{6} m s^{- 1}, \frac{v _{1}}{c} = 7, 3 \times 1 0^{- 3} \approx \frac{1}{137} .$ La vitesse de l'électron dans l'état fondamental vaut moins d'un centième de celle de la lumière, et $v_{n}$ décroît avec $n$ : le traitement non relativiste est justifié (les corrections relativistes sont de l'ordre de $(v / c)^{2} \sim 5 \times 1 0^{- 5}$ ).

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