Battements : une phase qui dérive

La stratégie. Deux sinusoïdes de même fréquence ont un déphasage constant ; deux sinusoïdes de fréquences différentes ont un déphasage qui change avec le temps. Les battements ne sont rien d'autre que le passage périodique, au rythme de cette dérive, de « en phase » à « en opposition ».

1) La dérive du déphasage. Les phases sont ${\Phi }_1=2\pi f_{1}t$ et ${\Phi }_2=2\pi f_{2}t$, donc $$\Delta \Phi (t)={\Phi }_1-{\Phi }_2=2\pi (f_1-f_2)t:$$ le déphasage croît (ou décroît) linéairement, d'un tour toutes les $1/|f_1-f_2|$. Les signaux sont en phase quand $\Delta \Phi$ est un multiple de $2\pi$, c'est-à-dire aux instants $t_n=n/|f_1-f_2|$ : leurs crêtes coïncident, et la somme oscille avec l'amplitude $2A$. Ils sont en opposition à mi-chemin, quand $\Delta \Phi$ est un multiple impair de $\pi$ : les crêtes de l'un tombent sur les creux de l'autre, et la somme est quasi nulle. Sur une durée de quelques périodes, chaque instant ressemble à la somme de deux signaux de même fréquence avec un déphasage figé ; c'est ce déphasage qui, lentement, tourne.

2) La forme produit. La formule $\cos p+\cos q=2\cos \frac{p-q}{2}\cos \frac{p+q}{2}$, appliquée à $p=2\pi f_{1}t$ et $q=2\pi f_{2}t$, donne l'expression demandée. Comme $|f_1-f_2|\ll f_1+f_2$, le second facteur oscille vite, à la fréquence moyenne $(f_1+f_2)/2$ — c'est la hauteur du son entendu —, et le premier varie lentement : il joue le rôle d'une amplitude $2A\cos (\pi (f_1-f_2)t)$ qui change de signe et passe par zéro. L'oreille perçoit l'intensité, sensible à la valeur absolue de cette amplitude, dont la période est $$T_b=\frac{1}{|f_1-f_2|},f_b=|f_1-f_2|,$$ et non $2/|f_1-f_2|$ (période du cosinus lui-même) : on retrouve les instants « en phase » de la question 1. Le point délicat : la fréquence de battement est l'écart des fréquences, pas sa moitié.

3) L'accord. $|f-440|=4$ Hz, donc $f=436$ Hz ou $f=444$ Hz. En tendant la corde, $f$ augmente ; si le battement s'accélère, l'écart augmente : la corde était déjà au-dessus, à 444 Hz. Il faut la détendre ; le battement ralentit, puis disparaît quand $f=440$ Hz. Une seule mesure de battement ne donne que $|f-f_0|$ ; c'est le sens de variation lors d'un réglage connu qui donne le signe.

4) La sensibilité. Un écart de 0,05 % à 440 Hz vaut $0,22$ Hz : un battement toutes les $1/0,22\approx 4,5$ s, lent mais nettement perceptible pour une oreille attentive. Comparer deux hauteurs successives demande au contraire un écart de l'ordre de 0,2 à 0,5 %, soit environ 1 à 2 Hz. Le battement transforme une comparaison de hauteurs, difficile, en la détection d'une variation lente d'intensité, facile : il est quatre à dix fois plus sensible. Et le réglage se fait en suivant la disparition du battement, sans jamais avoir à juger d'une hauteur.

Ce que l'exercice installe. Le déphasage de deux sinusoïdes de fréquences différentes dérive à la vitesse $2\pi \Delta f$ ; la somme passe de « en phase » à « en opposition » à la fréquence $|\Delta f|$. Cette lecture par le déphasage sera celle des interférences du chapitre 3, où deux ondes de même fréquence ont au contraire un déphasage figé ; et la détection d'un battement est une méthode de mesure de fréquence d'une grande finesse.