Ce qui se conserve en changeant de milieu

La stratégie. À l'interface, une seule chose est imposée : ce qui se passe en un point de l'interface est à la fois le signal du milieu 1 et celui du milieu 2. C'est le rythme temporel qui est commun ; tout le reste — longueur d'onde, phase accumulée — suit la vitesse de phase de chaque milieu.

1) La fréquence se conserve. Le point de l'interface vibre à un certain rythme ; il est la source de l'onde transmise, qui vibre donc au même rythme : même période, même fréquence. Un autre argument dit la même chose : si les fréquences différaient, il arriverait sur l'interface plus de crêtes par seconde qu'il n'en repartirait, et les crêtes s'accumuleraient indéfiniment sur l'interface, ce qui est absurde en régime établi. Avec $\lambda =v_{\phi }/f$ et $f$ commune : $$\frac{{\lambda }_2}{{\lambda }_1}=\frac{v_2}{v_1}.$$ La longueur d'onde suit la vitesse de phase ; la fréquence est l'invariant.

2) La lumière dans le verre. $f=c/{\lambda }_0=4,74\times 10^{14}$ Hz, inchangée ; dans le verre, $\lambda =\frac{c/n}{f}=\frac{{\lambda }_0}{n}=422$ nm. La couleur ne change pas : elle est liée à la fréquence, que l'œil (après passage dans ses propres milieux transparents) reçoit intacte. Un plongeur voit les mêmes couleurs que sur la plage, bien que les longueurs d'onde dans l'eau soient plus courtes. Parler de « la longueur d'onde » d'une lumière sans préciser le milieu sous-entend toujours le vide.

3) Le son dans l'eau. ${\lambda }_{\text{air}}=340/1000=0,34$ m et ${\lambda }_{\text{eau}}=1500/1000=1,5$ m : la longueur d'onde est multipliée par $1500/340\approx 4,4$, la fréquence (donc la hauteur du son) est la même.

4) Le retard de phase d'une lame. Dans un milieu de vitesse de phase $v$, la phase d'une onde de pulsation $\omega$ diminue de $\omega e/v=2\pi e/{\lambda }_{\text{milieu}}$ sur une épaisseur $e$ (c'est $ke$). Dans le verre, $\lambda ={\lambda }_0/n$ : la phase diminue de $2\pi ne/{\lambda }_0$ ; dans l'air, de $2\pi e/{\lambda }_0$. La différence est le retard de phase dû à la lame : $$\Delta \phi =\frac{2\pi ne}{{\lambda }_0}-\frac{2\pi e}{{\lambda }_0}=\frac{2\pi (n-1)e}{{\lambda }_0}.$$ Numériquement, $\frac{\Delta \phi }{2\pi }=\frac{0,50\times 1,00\times 10^{-3}}{633\times 10^{-9}}\approx 790$ : la lame retarde l'onde d'environ 790 longueurs d'onde, soit un retard temporel $\Delta t=(n-1)e/c=1,7\times 10^{-12}$ s. Le nombre entier de tours est invisible sur une onde sinusoïdale ; ce qui compte quand on compare deux faisceaux, c'est la différence de leurs retards. Un quart de tour correspond à $(n-1)\Delta e/{\lambda }_0=1/4$, soit $$\Delta e=\frac{{\lambda }_0}{4(n-1)}=\frac{633}{2}\mathrm{nm}\approx 0,3\mu \mathrm{m}.$$ Deux lames dont l'épaisseur ne diffère que de trois dixièmes de micromètre — un deux-centième de l'épaisseur d'un cheveu — décalent leurs ondes d'un quart de tour. Inversement, une mesure de phase lumineuse est une mesure de longueur à l'échelle de la fraction de micromètre : c'est le principe de l'interférométrie, et la grandeur $(n-1)e$ annonce le chemin optique du chapitre 3.

5) Vérifications. $(n-1)e/{\lambda }_0$ est un rapport de deux longueurs : $\Delta \phi$ est un angle, sans dimension. Si $n\to 1$, la lame est de l'air et $\Delta \phi \to 0$ ; si $e\to 0$, il n'y a pas de lame, $\Delta \phi \to 0$. Le résultat est linéaire en $e$, comme un retard proportionnel à la distance doit l'être.

Ce que l'exercice installe. À la traversée d'une interface, la fréquence se conserve et la longueur d'onde suit la vitesse de phase. Le retard de phase accumulé dans un milieu vaut $2\pi \times$(longueur)$/{\lambda }_{\text{milieu}}$ ; comparé à celui du vide, il fait apparaître $(n-1)e$, la différence de chemin optique, outil central des interférences lumineuses.