L'ionosphère : un milieu dispersif où la vitesse de phase dépasse c

La stratégie. La loi est donnée : on l'exploite pour classer les fréquences par rapport à $f_p$, la seule échelle du problème. Puis on traite la question conceptuelle — une vitesse supérieure à $c$ — en se demandant ce que transporte réellement une sinusoïde.

1) Un milieu dispersif. $v_{\phi }$ dépend de $f$ : l'ionosphère est dispersive. Elle l'est fortement près de $f_p$, où $v_{\phi }$ diverge. Pour $f\gg f_p$, $f_p^2/f^2\ll 1$ et $v_{\phi }\approx c$ : elle se comporte comme le vide, pratiquement non dispersive. Le critère est le rapport $f_p/f$, sans dimension.

2) Les valeurs. Avec $f_p=9,0$ MHz :

La radio FM et le GPS traversent un milieu presque identique au vide ; les ondes courtes à 10 MHz, juste au-dessus de $f_p$, y ont une longueur d'onde plus que doublée.

3) Réflexion et transmission. À 1 MHz, $f<f_p$ de jour comme de nuit : l'onde ne pénètre pas dans l'ionosphère, elle est réfléchie vers le sol, qui la réfléchit à son tour ; par bonds successifs entre le sol et l'ionosphère, elle contourne la courbure de la Terre et se capte bien au-delà de l'horizon. Les satellites, au-dessus de l'ionosphère, ne sont joignables qu'avec $f\gg f_p$ : en GHz, l'onde traverse comme dans le vide. À 5 MHz : de jour, $5<9$ MHz, l'onde est réfléchie et porte loin ; de nuit, $5>3$ MHz, elle traverse l'ionosphère et se perd dans l'espace. Une même émission change de portée entre le jour et la nuit.

4) Plus vite que la lumière ? Il n'y a pas de contradiction. Une sinusoïde qui existe depuis toujours et pour toujours est parfaitement prévisible : chaque crête est identique à la précédente, et l'on sait d'avance ce qui arrivera en tout point. Elle ne transporte aucune information ; la vitesse de phase est celle d'un motif, comme au stroboscope (exercice 2). Pour transmettre un message, il faut modifier l'onde — la moduler, l'allumer, l'éteindre — et cette modification se propage à une autre vitesse, qui reste inférieure à $c$ (son étude dépasse le programme). Le phare le montre : si le faisceau tourne d'un tour par seconde et que l'écran est à $10^8$ m, la tache balaie l'écran à $2\pi \times 10^8\approx 6\times 10^8\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$, plus vite que la lumière ; pourtant aucun point de l'écran n'envoie rien au suivant : chaque position de la tache est causée par le phare, avec le retard $D/c$. Une vitesse de motif n'est pas une vitesse de signal.

5) La correction ionosphérique du GPS. Sur l'épaisseur $L$, la phase diminue de $kL=2\pi fL/v_{\phi }$. Dans le vide, la même diminution serait obtenue sur une longueur $L^{\prime }$ telle que $2\pi f{L}^{\prime }/c=2\pi fL/v_{\phi }$, soit $L^{\prime }=Lc/v_{\phi }=L\sqrt{1-f_p^2/f^2}$. La phase reçue correspond donc à un trajet plus court de $$\Delta L=L\left(1-\sqrt{1-\frac{f_p^2}{f^2}}\right)\approx L\frac{f_p^2}{2f^2},$$ par le développement $\sqrt{1-u}\approx 1-u/2$ pour $u\ll 1$. Numériquement, $\Delta L=3\times 10^5\times \frac{(9\times 10^6{)}^2}{2\times (1,5\times 10^9{)}^2}=5,4$ m, soit 27 longueurs d'onde. Pour un système qui prétend localiser au mètre, une erreur de cinq mètres, variable avec l'heure, est inacceptable : il faut la corriger. La dispersion fournit elle-même le remède : l'écart varie comme $1/f^2$, et deux signaux émis à deux fréquences différentes permettent de le mesurer et de l'éliminer — c'est ce que font les récepteurs bifréquences.

Ce que l'exercice installe. La loi de dispersion se lit par rapport à une fréquence caractéristique : loin d'elle, le milieu est presque non dispersif ; près d'elle, il l'est fortement ; en dessous, l'onde ne passe pas. La vitesse de phase peut dépasser $c$ parce qu'elle est celle d'un motif sans information. Et la dispersion, nuisible, devient un outil de mesure dès qu'on compare deux fréquences.