Le télémètre à déphasage

La stratégie. On applique l'exercice précédent à une onde dont on choisit la fréquence : la modulation. Une mesure de phase est fine mais ambiguë ; deux fréquences, l'une pour la précision, l'autre pour lever l'ambiguïté, donnent une distance à la fois sûre et précise.

1) La lumière et sa modulation. $f_0=c/{\lambda }_0=3,00\times 10^8/633\times 10^{-9}=4,74\times 10^{14}$ Hz. Aucun détecteur ne suit une oscillation de période $2\times 10^{-15}$ s ; et la phase de la lumière tournerait d'un tour tous les ${\lambda }_0/2\approx 0,3\mu$m de distance, de sorte que la moindre vibration du prisme la rendrait illisible. On module donc l'intensité à une fréquence électronique, de l'ordre du mégahertz : la modulation est une onde progressive sinusoïdale qui voyage avec la lumière, à la célérité $c$, et dont la phase se mesure.

2) La phase de la modulation. La modulation reçue a parcouru l'aller et le retour, $2D$, avec le retard $\tau =2D/c$. Par l'exercice précédent, le déphasage vaut $2\pi f_m\tau$, soit en degrés $${\phi }_{\text{vrai}}=360^{\circ }\times \frac{2D{f}_m}{c}=360^{\circ }\times \frac{2D}{c/f_m},$$ et l'appareil n'en affiche que le reste modulo $360^{\circ }$. Si l'on note $N$ le nombre de tours entiers, $D=\left(N+\frac{\phi }{360^{\circ }}\right)\Lambda$ avec $\Lambda =\frac{c}{2f_m}$ : la phase fixe $D$ à un multiple de $\Lambda$ près. Une erreur $\delta \phi$ sur la phase donne $\delta D=\frac{\delta \phi }{360^{\circ }}\Lambda$.

3) Les deux fréquences. À $f_1=15,0$ MHz : ${\Lambda }_1=\frac{3,00\times 10^8}{3,00\times 10^7}=10,0$ m et $\delta D_1=10^{-3}\times 10,0=1,0$ cm : précise, mais ambiguë dès que $D$ dépasse 10 m. À $f_2=150$ kHz : ${\Lambda }_2=1000$ m et $\delta D_2=1,0$ m : grossière, mais sans ambiguïté jusqu'à un kilomètre.

4) La distance. À $f_2$, sans ambiguïté : $D=\frac{157,5}{360}\times 1000=437,5$ m, à $0,5$ m près environ. À $f_1$, $D=(N+274,3/360)\times 10,0=(N+0,762)\times 10,0$ m. Les valeurs voisines de $437,5$ m sont $427,6$ m ($N=42$), $437,6$ m ($N=43$) et $447,6$ m ($N=44$) ; seule $N=43$ est compatible avec la mesure grossière. Donc $$D=(43+0,762)\times 10,0=437,62\mathrm{m}\text{aˋ }1\text{cm preˋs.}$$ Le point délicat : la fréquence grossière doit être assez précise pour désigner un seul tour de la fréquence fine, ici $\delta D_2=1$ m $\ll {\Lambda }_1=10$ m. C'est le principe du vernier, ou d'une montre dont l'aiguille des heures dit quelle heure et celle des minutes dit quelle minute.

5) L'indice de l'air. La modulation va en réalité à $c/n$ : le retard réel est $2Dn/c$, et l'appareil, qui divise par $c$, affiche $nD$ au lieu de $D$. La surestimation vaut $(n-1)D=3,0\times 10^{-4}\times 437,6\approx 0,13$ m, treize fois la résolution. Or l'indice de l'air dépend de sa densité, donc de la température et de la pression ($n-1$ varie d'environ un millionième par kelvin) : l'appareil a besoin de ces deux données pour corriger, sans quoi sa précision centimétrique serait illusoire.

Ce que l'exercice installe. Une phase donne une distance modulo une longueur ($\Lambda =c/2f_m$, le facteur 2 venant de l'aller-retour) ; deux fréquences, l'une fine et l'autre grossière, combinent précision et absence d'ambiguïté. Et le déphasage dû à la propagation dépend de la célérité dans le milieu : l'indice entre dans le calcul, ce qui annonce la notion de chemin optique du chapitre 3.