Une onde, deux coupes

La stratégie. Une onde sinusoïdale est une fonction de deux variables ; chaque document en donne une coupe. La photographie fixe le temps et donne une période spatiale, le chronogramme fixe la position et donne une période temporelle ; le sens de propagation est une information sur le lien entre les deux, que seule une observation à deux instants (ou à deux positions) peut fournir.

1) Ce que donne chaque document. La photographie montre des crêtes espacées de $0,80$ m : c'est la période spatiale, $\lambda =0,80$ m. Le chronogramme donne $T=10$ ms, soit $f=100$ Hz. Ni l'un ni l'autre ne donne le sens : une onde $A\cos (\omega t-kx+\phi )$ et une onde $A\cos (\omega t+kx+{\phi }^{\prime })$ convenablement calée ont la même photographie à $t=0$ (deux sinusoïdes de même période spatiale, crêtes aux mêmes endroits) et, en $x=0$, le même chronogramme (une sinusoïde de période $T$). Une photographie est figée ; un chronogramme ne regarde qu'un point. (Le chronogramme complet, avec sa phase à $t=0$, combiné à la photographie, suffirait : la relation « vitesse d'un point égale moins $v_{\phi }$ fois la pente » du chapitre 1 relie le sens au signe de la pente. C'est encore une information sur le lien entre les deux coupes.)

2) La relation $\lambda =v_{\phi }T$. Suivons une crête : elle avance à la vitesse $v_{\phi }$. Au bout d'une période $T$, chaque point du milieu a repris exactement le même état ; la photographie à l'instant $T$ est donc identique à celle de l'instant $0$. La crête suivie est alors à l'endroit qu'occupait la crête voisine : elle a parcouru une longueur d'onde. Donc $v_{\phi }T=\lambda$, et $$v_{\phi }=\frac{\lambda }{T}=\frac{0,80}{10\times 10^{-3}}=80\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}.$$ Homogénéité : une longueur sur une durée. Le même raisonnement, avec la phase, donne $v_{\phi }=\omega /k$.

3) Le sens de propagation. En $2,0$ ms, à $80\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$, l'onde avance de $0,16$ m. Si elle va vers les $x$ croissants, la crête de $0,24$ m est en $0,40$ m à $t=2,0$ ms : c'est ce qu'on observe. Si elle allait vers les $x$ décroissants, les crêtes seraient en $0,24-0,16=0,08$ m, $0,88$ m, etc., et aucune en $0,40$ m. L'onde va donc vers les $x$ croissants. À $t=8,0$ ms, le déplacement vaudrait $0,64$ m : vers les $x$ croissants, les crêtes seraient en $0,88$ m et $0,08$ m ; vers les $x$ décroissants, en $0,24-0,64=-0,40$ m, donc aussi en $-0,40+0,80=0,40$ m. La même observation à $8,0$ ms aurait donc signifié une propagation vers les $x$ décroissants. Le point délicat : une crête en est une autre à $\lambda$ près ; on ne compare pas des positions mais des positions modulo $\lambda$, et c'est la valeur connue de $v_{\phi }$ qui lève l'ambiguïté.

4) L'écriture de l'onde. $\omega =2\pi /T=628\mathrm{rad}{\mathrm{s}}^{-1}$ et $k=2\pi /\lambda =7,85\mathrm{rad}{\mathrm{m}}^{-1}$. Une crête correspond à une phase multiple de $2\pi$ ; en $x=0,24$ m à $t=0$ : $-k\times 0,24+\phi =0$, donc $\phi =k\times 0,24=0,6\pi =1,88$ rad. Ainsi $$s(x,t)=A\cos (628t-7,85x+1,88)(x\text{en m},t\text{en s}).$$ En $x=0$, la crête est atteinte quand $\omega t+0,6\pi =2\pi$, soit $t=0,7T=7,0$ ms ; on le retrouve physiquement : la crête située en $x=-0,56$ m à $t=0$ parcourt $0,56$ m à $80\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ en $7,0$ ms. Vers les $x$ décroissants, l'onde s'écrit $A\cos (\omega t+kx+{\phi }^{\prime })$ avec $k\times 0,24+{\phi }^{\prime }=0$, soit ${\phi }^{\prime }=-0,6\pi$.

5) Le diagramme espace-temps. Une crête est en $x=0,24+v_{\phi }t+0,80n$ : dans le plan $(t,x)$, les crêtes forment une famille de droites parallèles, de pente $v_{\phi }$. Une photographie est une coupe à $t$ fixé (une droite parallèle à l'axe des $x$) : elle rencontre les lignes de crête tous les $\lambda$. Un chronogramme est une coupe à $x$ fixé : il les rencontre toutes les $T$. La pente des lignes est $v_{\phi }=\lambda /T$, et leur inclinaison (vers le haut ou vers le bas) est le sens de propagation — information qu'aucune des deux coupes ne contient seule.

Ce que l'exercice installe. La double périodicité se lit sur deux graphes dont il faut toujours lire l'axe ; $\lambda =v_{\phi }T$ s'établit en suivant une crête ; et le sens de propagation est une information sur le lien entre espace et temps. Les positions de crêtes ne se comparent que modulo $\lambda$, comme les retards modulo $T$ (exercices 3 et 4).