Ce sont les amplitudes qui s'ajoutent

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La formule fournie, et ce que le chapitre sur les interférences a établi pour la lumière : la formule de Fresnel, le contraste, la condition d'interférences destructives $\cos \phi =-1$. Aucune fonction d'onde n'est à calculer : on raisonne sur la structure de la formule.

1) Des billes. Si chaque électron passe par une fente bien déterminée, l'ensemble des électrons se partage en deux sous-populations : ceux qui passent par $F_1$, distribués selon $P_1$, et ceux qui passent par $F_2$, distribués selon $P_2$. Les probabilités d'événements incompatibles s'additionnent : $P_{12}^{\text{billes}}=P_1+P_2$. La prédiction quantique comporte en plus le terme d'interférence $2\sqrt{P_1{P}_2}\cos \phi$, qui peut être positif ou négatif selon le point.

2) Ouvrir une fente peut faire baisser le comptage. Avec $P_2=P_1$ : $$P_{12}=2P_1(1+\cos \phi ).$$ Alors $P_{12}<P_1$ si et seulement si $1+\cos \phi <\frac{1}{2}$, c'est-à-dire $\cos \phi <-\frac{1}{2}$. Ces points existent : ce sont les voisinages des franges sombres, et en une frange sombre exacte ($\cos \phi =-1$), $P_{12}=0$. En ces points, avec une seule fente ouverte, on détecte des électrons ; avec les deux, on en détecte moins, voire aucun.

Pour des billes, c'est impossible : ouvrir $F_2$ ajoute des trajets possibles sans en retirer aucun, et les électrons qui passaient par $F_1$ devraient continuer d'arriver au même point. Ouvrir une porte ne peut pas diminuer le nombre de passants qui franchissent l'autre. Le résultat expérimental interdit donc d'attribuer à chaque électron un passage par une fente déterminée.

3) Fentes inégales. Avec $P_2=P_1/4$, $\sqrt{P_1{P}_2}=P_1/2$ : $$P_{\max }=P_1+\frac{P_1}{4}+P_1=\frac{9}{4}{P}_1,P_{\min }=P_1+\frac{P_1}{4}-P_1=\frac{1}{4}{P}_1,$$ soit, en général, $P_{\max }=(\sqrt{P_1}+\sqrt{P_2}{)}^2$ et $P_{\min }=(\sqrt{P_1}-\sqrt{P_2}{)}^2$. Le contraste vaut $$C=\frac{2\sqrt{P_1{P}_2}}{P_1+P_2}=\frac{P_1}{\frac{5}{4}{P}_1}=0,8.$$ C'est mot pour mot le résultat des deux trous d'Young d'intensités $I_1$ et $I_2=I_1/4$ : $C=2\sqrt{I_1{I}_2}/(I_1+I_2)$. Les électrons obéissent à la même formule que la lumière ; les franges restent bien visibles (contraste $0,8$) alors qu'une fente laisse passer quatre fois moins que l'autre, parce que le terme d'interférence croît comme la racine du produit, et non comme le produit.

4) Savoir « par où ». Le dispositif rend les deux possibilités distinguables : on sait par quelle fente chaque électron est passé, et le terme d'interférence disparaît. Les amplitudes ne s'additionnent que pour des possibilités indiscernables, que rien, dans aucun appareil, ne permet de distinguer ; dès qu'une information sur le chemin existe, on additionne les probabilités, comme pour des billes. L'onde et le corpuscule ne sont donc pas deux natures qui se manifesteraient au hasard : c'est le dispositif expérimental qui détermine laquelle des deux descriptions s'applique.

5) Le sens de $|\psi {|}^2$. Ici, $\psi$ est la somme des amplitudes des deux fentes, et $|\psi (x){|}^2$ la densité de probabilité de détection en $x$, loi des impacts accumulés. Ce n'est pas un électron coupé en deux — on ne détecte jamais de demi-électron — ni une ignorance sur la fente empruntée, qui conduirait à $P_1+P_2$, ce que contredit la question 2.

Ce que l'exercice installe. La règle qui distingue la physique quantique du calcul des probabilités ordinaire : pour des possibilités indiscernables, on ajoute des amplitudes, puis on prend le module au carré ; pour des possibilités discernables, on ajoute des probabilités. Tout l'outillage du chapitre sur les interférences (formule de Fresnel, contraste, frange sombre) se transpose alors sans changement aux particules matérielles.