physique des ondes (PCSI) · Chapitre 5 · Exercice de TD

Combien d'impacts pour voir les franges ? (Tonomura, 1989)

Formalisme quantique et quantification de l'énergie · B. Les interférences particule par particule · niveau 2

Énoncé

En 1989, une équipe de la société Hitachi dirigée par Akira Tonomura publie l'enregistrement d'une figure d'interférences construite électron par électron : dans un microscope électronique, un « biprisme » électrostatique, qui joue le rôle des deux fentes d'Young, sépare puis superpose l'onde associée à chaque électron, et un détecteur enregistre chaque impact. Les clichés successifs montrent d'abord quelques points épars, puis des centaines, puis des milliers et des dizaines de milliers d'impacts, où les franges apparaissent.

On prend les ordres de grandeur suivants (choisis pour l'exercice) : électrons de vitesse $v \approx 1, 2 \times 1 0^{8} m s^{- 1}$ , débit $N ˙ \approx 1 0^{3}$ électrons par seconde, longueur du trajet source-détecteur $ℓ \approx 1, 5 m$ .

1) Quelle distance moyenne sépare deux électrons successifs ? Combien d'électrons, en moyenne, sont présents à un instant donné dans l'appareil ? Qu'en conclure ?

2) On modélise la densité de probabilité de détection sur le détecteur par $p (x) \propto cos^{2} (π x / i)$ , où $i$ est l'interfrange, sur un champ de dix interfranges (on néglige l'enveloppe). On découpe chaque interfrange en une demi-frange « brillante », de largeur $i /2$ centrée sur un maximum, et une demi-frange « sombre ». Calculer la probabilité qu'un impact tombant dans un interfrange donné tombe dans sa demi-frange brillante.

3) On a enregistré $N$ impacts au total. Exprimer le nombre moyen $n_{b}$ d'impacts dans une demi-frange brillante et le nombre moyen $n_{s}$ dans une demi-frange sombre. On admet que le nombre d'impacts effectivement compté dans une zone où l'on en attend $n$ en moyenne fluctue d'une quantité typique $n$ , et que la différence $n_{b} - n_{s}$ fluctue de $n_{b} + n_{s}$ . On convient que les franges sont « décelables » si $n_{b} - n_{s}$ dépasse trois fois cette fluctuation, et « nettes » si elle la dépasse dix fois. Calculer le nombre d'impacts correspondant à chaque seuil ; dresser un tableau pour $N = 10$ , $100$ , $1000$ , $10000$ .

4) Peut-on prédire où tombera le prochain électron ? Qu'est-ce qui, dans cette expérience, est aléatoire, et qu'est-ce qui est parfaitement reproductible ?

5) Expliquer pourquoi cette expérience montre à la fois l'aspect corpusculaire et l'aspect ondulatoire de l'électron, et pourquoi la figure d'interférences ne peut pas résulter d'une interaction entre électrons.

Corrigé

Stratégie. D'abord un ordre de grandeur, qui écarte toute explication collective ; puis une lecture statistique de la figure : une frange est un excès d'impacts, et un excès ne se voit que s'il dépasse les fluctuations du hasard.

1) Un électron à la fois. Deux électrons successifs sont émis à $1/ N ˙ = 1 0^{- 3} s$ d'intervalle ; pendant ce temps, le premier a parcouru $d = \frac{v}{N ˙} = \frac{1 , 2 \times 1 0 ^{8}}{1 0 ^{3}} = 1, 2 \times 1 0^{5} m = 120 km .$ La traversée de l'appareil dure $ℓ / v \approx 1, 3 \times 1 0^{- 8} s$ ; le nombre moyen d'électrons présents est donc $N ˙ \frac{ℓ}{v} = 1 0^{3} \times 1, 25 \times 1 0^{- 8} \approx 1 \times 1 0^{- 5} .$ L'appareil est vide cent mille fois plus souvent qu'il ne contient un électron. Chaque électron traverse le dispositif seul : il ne peut interagir avec aucun autre.

2) La demi-frange brillante. Sur un interfrange centré sur un maximum, $[- i /2, i /2]$ , la probabilité d'être dans la demi-frange brillante $[- i /4, i /4]$ est le rapport des aires : $\frac{\int _{- i /4}^{i /4} cos ^{2} ( π x / i ) d x}{\int _{- i /2}^{i /2} cos ^{2} ( π x / i ) d x} = \frac{\frac{i}{4} + \frac{i}{2 π}}{\frac{i}{2}} = \frac{1}{2} + \frac{1}{π} \approx 0, 818,$ où l'on a linéarisé $cos^{2} u = \frac{1 + c o s 2 u}{2}$ : $\int_{- i /4}^{i /4} cos^{2} (π x / i) d x = \frac{i}{4} + \frac{i}{4 π} [sin \frac{2 π x}{i}]_{- i /4}^{i /4} = \frac{i}{4} + \frac{i}{2 π}$ . La demi-frange sombre reçoit le complément, $\frac{1}{2} - \frac{1}{π} \approx 0, 182$ . C'est le même calcul qu'à l'exercice 1 : une probabilité est une aire.

3) Fluctuations contre contraste. Les $N$ impacts se répartissent sur dix interfranges, donc $N /10$ par interfrange en moyenne, et $n_{b} = 0, 818 \frac{N}{10} = 0, 0818 N, n_{s} = 0, 0182 N .$ Le signal est $n_{b} - n_{s} = \frac{2}{π} \frac{N}{10} \approx 0, 0637 N$ , la fluctuation $n_{b} + n_{s} = N /10$ . Le rapport signal sur fluctuation vaut $\frac{n _{b} - n _{s}}{n _{b} + n _{s}} = \frac{0 , 0637 N}{0 , 1 N} \approx 0, 20 N .$ Il croît comme $N$ : c'est toute la clé. Le seuil « décelable » ( $3$ ) est atteint pour $N \approx 15$ , soit $N \approx 2 \times 1 0^{2}$ ; le seuil « net » ( $10$ ) pour $N \approx 50$ , soit $N \approx 2, 5 \times 1 0^{3}$ .

$N$	$n_{b}$	$n_{s}$	$n_{b} - n_{s}$	fluctuation $n_{b} + n_{s}$	rapport
$10$	$0, 8$	$0, 2$	$0, 6$	$1, 0$	$0, 6$
$100$	$8$	$2$	$6$	$3$	$2$
$1000$	$82$	$18$	$64$	$10$	$6$
$10000$	$818$	$182$	$637$	$32$	$20$

Avec dix impacts, moins d'un par demi-frange : les points semblent jetés au hasard. Vers cent, des bandes se devinent ; entre quelques centaines et quelques milliers, les franges émergent ; au-delà de dix mille, la figure est celle de la pleine intensité. C'est la séquence des clichés de l'expérience et des vignettes du cours.

Le point délicat. En moyenne, la demi-frange brillante reçoit toujours $4, 5$ fois plus d'impacts que la sombre, quel que soit $N$ ; ce qui change, c'est la confiance dans ce rapport, car les fluctuations relatives décroissent en $1/ N$ — comme dans toute mesure de comptage.

4) Hasard et loi. On ne peut pas prédire où tombera le prochain électron : seule la probabilité qu'il tombe dans telle zone est déterminée. Ce qui est aléatoire, c'est la position de chaque impact ; ce qui est parfaitement reproductible, c'est la loi de répartition, $p (x)$ : deux expériences de $1 0^{5}$ électrons donnent deux figures identiques, à des fluctuations relatives de l'ordre de $1/ N$ près.

5) Les deux aspects, et pas d'interaction. Chaque électron est détecté en un point, entier, comme une particule. Mais la répartition des points reproduit une figure d'interférences, signature d'une onde qui passe des deux côtés du biprisme. Les électrons traversant l'appareil un par un, à 120 km les uns des autres, la figure ne peut pas venir d'une interaction entre eux. La figure n'est pas dans un électron, elle est dans la loi qui les distribue tous.

Ce que l'exercice installe. Lire une expérience « particule par particule » en termes probabilistes, comme le demande le programme : un impact est un tirage, la figure est une loi, et l'on sait maintenant combien de tirages il faut pour la voir, parce qu'un signal statistique croît comme $N$ quand ses fluctuations croissent comme $N$ .

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