Énergies de confinement : de la chimie au noyau

Stratégie. Une seule formule, $E_{\mathrm{c}}\sim {\hslash }^2/(2m\Delta x^2)$, appliquée à des échelles qui diffèrent de cinq ordres de grandeur. Tout l'intérêt est dans la loi d'échelle : $E_{\mathrm{c}}\propto 1/(m\Delta x^2)$.

1) L'échelle chimique. $$E_{\mathrm{c}}\sim \frac{(1,055\times 10^{-34}{)}^2}{2\times 9,11\times 10^{-31}\times (1\times 10^{-10}{)}^2}=6,1\times 10^{-19}\mathrm{J}\approx 3,8\mathrm{eV}.$$ C'est l'ordre de grandeur des énergies de liaison chimique et des énergies d'ionisation : l'énergie de confinement des électrons fixe l'échelle de la chimie. On vérifie au passage que $\Delta p=\hslash /\Delta x\approx 1\times 10^{-24}\mathrm{kg}\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}\ll m_{e}c=2,7\times 10^{-22}\mathrm{kg}\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ : le traitement non relativiste est justifié.

2) L'échelle nucléaire. $$E_{\mathrm{c}}\sim \frac{(1,055\times 10^{-34}{)}^2}{2\times 1,67\times 10^{-27}\times (2\times 10^{-15}{)}^2}=8,3\times 10^{-13}\mathrm{J}\approx 5,2\mathrm{MeV}.$$ C'est le même ordre de grandeur que l'énergie de liaison par nucléon, environ $8\mathrm{MeV}$ : les nucléons, confinés dans le noyau, ont des énergies de quelques MeV, et la force nucléaire qui les retient doit mettre en jeu des énergies comparables.

3) Le rapport nucléaire / chimique. Le rapport des deux estimations est $$\frac{5,2\times 10^6\mathrm{eV}}{3,8\mathrm{eV}}\approx 1,4\times 10^6.$$ Sans recalculer : $E_{\mathrm{c}}\propto \frac{1}{m\Delta x^2}$, donc $$\frac{E_{\mathrm{nucl}}}{E_{\mathrm{chim}}}\sim \frac{m_e}{m_p}{\left(\frac{\Delta x_{\mathrm{atome}}}{\Delta x_{\mathrm{noyau}}}\right)}^2=\frac{1}{1830}\times {\left(\frac{10^{-10}}{2\times 10^{-15}}\right)}^2=\frac{2,5\times 10^9}{1,83\times 10^3}\approx 1,4\times 10^6.$$ La masse du nucléon fait perdre un facteur $1800$, la taille $50000$ fois plus petite, au carré, fait gagner $2,5\times 10^9$ : une réaction nucléaire libère de l'ordre d'un million de fois plus d'énergie qu'une réaction chimique — l'ordre de grandeur observé entre la fission de l'uranium et la combustion du charbon.

4) Pas d'électron dans le noyau. $$\Delta p\sim \frac{\hslash }{\Delta x}=\frac{1,055\times 10^{-34}}{2\times 10^{-15}}=5,3\times 10^{-20}\mathrm{kg}\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1},$$ $$m_{e}c=9,11\times 10^{-31}\times 3,00\times 10^8=2,7\times 10^{-22}\mathrm{kg}\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}.$$ Le rapport vaut environ $200$ : $\Delta p\gg m_{e}c$, la formule newtonienne $p^2/(2m)$ ne s'applique plus, et l'on utilise, comme l'énoncé l'admet, $E\approx pc$ : $$E\sim \Delta pc=5,3\times 10^{-20}\times 3,00\times 10^8=1,6\times 10^{-11}\mathrm{J}\approx 1\times 10^2\mathrm{MeV}.$$ Un électron confiné dans le noyau aurait de l'ordre de $100\mathrm{MeV}$, cent fois l'énergie des électrons $\beta$ émis. Conclusion : les électrons ne préexistent pas dans le noyau ; ceux de la radioactivité $\beta$ sont créés lors de l'émission. L'ordre de grandeur suffit à écarter le modèle.

5) Le grain de poussière. $$\Delta v\sim \frac{\hslash }{m\Delta x}=\frac{1,055\times 10^{-34}}{1\times 10^{-9}\times 1\times 10^{-6}}\approx 1\times 10^{-19}\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}.$$ À cette vitesse, le grain mettrait $10^{16}\mathrm{s}$, soit environ trois cents millions d'années, pour se déplacer d'un millimètre. Pour un objet macroscopique, même minuscule, la contrainte de Heisenberg est sans aucune conséquence observable : la position et la vitesse peuvent être connues ensemble avec toute la précision des instruments.

Ce que l'exercice installe. Le maniement d'une loi d'échelle : une seule estimation, $E_{\mathrm{c}}\sim {\hslash }^2/(m\Delta x^2)$, explique pourquoi la chimie se joue à l'eV, le noyau au MeV, et pourquoi le rapport vaut un million ; elle permet même de trancher une question de structure (pas d'électron dans le noyau). C'est exactement ce que le programme appelle « évaluer des ordres de grandeur typiques intervenant dans des phénomènes quantiques ».