Heisenberg par la diffraction, et la tache la plus fine

Stratégie. On suit la méthode du cours — la particule, onde de longueur d'onde $\lambda =h/p$, se diffracte — puis on transforme l'inégalité en un problème d'optimisation simple, où les deux effets antagonistes se compensent.

1) L'établissement. Avant la fente, $p_x=0$ exactement ($\Delta p_x=0$), mais la position transverse est inconnue. Après la fente, elle est connue à $\Delta x\approx a$ près. L'onde de de Broglie, $\lambda =h/p$, est diffractée : la plupart des particules ressortent dans la tache centrale, de demi-largeur angulaire $\theta$ telle que $\sin \theta \approx \lambda /a$. Une particule déviée de l'angle $\theta$ a une composante $p_x=p\sin \theta$, de sorte que les valeurs de $p_x$ s'étalent sur $$\Delta p_x\approx p\sin \theta \approx \frac{h}{\lambda }\cdot \frac{\lambda }{a}=\frac{h}{a}.$$ D'où $\Delta x\Delta p_x\approx h$. Comme certaines particules sont déviées au-delà de la tache centrale, la dispersion réelle est au moins de cet ordre : $$\Delta x\Delta p_x\gtrsim \hslash \text{(en ordre de grandeur)}.$$ Le facteur $2\pi \approx 6$ entre $h$ et $\hslash$ dépend de la définition précise de $\Delta x$ et $\Delta p_x$ (demi-largeur, largeur totale, écart type…) ; un argument par la diffraction ne peut pas fixer de tels facteurs. Seul l'ordre de grandeur a un sens : c'est exactement la forme sous laquelle le programme demande l'inégalité.

2) La tache la plus fine. Le premier terme, $a$, est la largeur de l'ombre géométrique de la fente : un faisceau parallèle sans diffraction formerait sur le détecteur une bande de largeur $a$. Le second est l'élargissement dû à la diffraction : chaque bord de la tache s'écarte de $D\tan \theta \approx D\lambda /a$, d'où $2\lambda D/a$ pour les deux bords. Rétrécir la fente diminue le premier terme et augmente le second.

La fonction $\ell$ est dérivable sur $]0,+\infty [$, de dérivée $${\ell }^{\prime }(a)=1-\frac{2\lambda D}{a^2},$$ négative pour $a<\sqrt{2\lambda D}$, positive au-delà. Elle admet donc un minimum en $$a^{\star }=\sqrt{2\lambda D},{\ell }_{\min }=a^{\star }+\frac{2\lambda D}{a^{\star }}=2\sqrt{2\lambda D}=2a^{\star }.$$ À l'optimum, les deux termes sont égaux : $\frac{2\lambda D}{a^{\star }}=a^{\star }$. L'élargissement par diffraction vaut exactement la largeur géométrique.

3) Trois cas.

• Laser. $a^{\star }=\sqrt{2\times 633\times 10^{-9}\times 1,0}=1,1\times 10^{-3}\mathrm{m}$, soit $1,1\mathrm{mm}$, et ${\ell }_{\min }=2,3\mathrm{mm}$. Fermer la fente en dessous du millimètre élargit la tache.
• Électrons de 100 eV. $\lambda =\frac{h}{\sqrt{2m_{e}eU}}=\frac{6,63\times 10^{-34}}{\sqrt{2\times 9,11\times 10^{-31}\times 1,60\times 10^{-19}\times 100}}=1,23\times 10^{-10}\mathrm{m}$, d'où $a^{\star }=\sqrt{2\times 1,23\times 10^{-10}\times 1,0}=1,6\times 10^{-5}\mathrm{m}$, soit $16\mu \mathrm{m}$, et ${\ell }_{\min }\approx 31\mu \mathrm{m}$.
• Balle. $\lambda =\frac{h}{mv}=\frac{6,63\times 10^{-34}}{0,050\times 10}=1,3\times 10^{-33}\mathrm{m}$, d'où $a^{\star }=\sqrt{2\times 1,3\times 10^{-33}\times 10}\approx 1,6\times 10^{-16}\mathrm{m}$ : plus petit qu'un proton (de l'ordre de $10^{-15}\mathrm{m}$). Aucune ouverture capable de laisser passer une balle n'approche cette taille ; pour toute ouverture réelle, $a\gg a^{\star }$, le terme de diffraction est rigoureusement négligeable et $\ell \approx a$ : la balle suit la trajectoire de la mécanique classique.

4) Un compromis, pas un défaut. Fermer la fente réduit $\Delta x$ mais augmente $\Delta p_x\sim h/\Delta x$, qui étale la tache de $D\Delta p_x/p$ ; l'optimum, où les deux termes sont égaux, est le meilleur compromis. Aucune imperfection d'instrument n'intervient : le compromis vient du caractère ondulatoire de la particule. L'inégalité de Heisenberg est intrinsèque.

Ce que l'exercice installe. L'inégalité de Heisenberg comme résultat de la diffraction, établie et utilisée en ordre de grandeur, sans jamais attacher d'importance aux facteurs numériques ; et la méthode du compromis : quand deux effets varient en sens contraires avec un paramètre (ici $a$ et $1/a$), l'optimum égalise les deux contributions. On retrouvera ce raisonnement dès l'exercice suivant, pour la taille de l'atome.