L'atome classique s'effondre en $10^{-11}$ s

Stratégie. Un ordre de grandeur suffit à condamner le modèle planétaire classique : on compare l'énergie disponible à la puissance perdue.

1) Homogénéité. L'énergie potentielle de Coulomb, $\frac{q^2}{4\pi {\epsilon }_{0}r}$, est une énergie : $\frac{q^2}{{\epsilon }_0}$ s'exprime donc en $\mathrm{J}\mathrm{m}$. Alors $$\left[\frac{q^2{a}^2}{{\epsilon }_0{c}^3}\right]=\mathrm{J}\mathrm{m}\times \frac{{\mathrm{m}}^2{\mathrm{s}}^{-4}}{{\mathrm{m}}^3{\mathrm{s}}^{-3}}=\mathrm{J}{\mathrm{s}}^{-1}=\mathrm{W}.$$ C'est bien une puissance.

2) Sur l'orbite de Bohr. Le principe fondamental de la dynamique, projeté sur la normale au cercle, donne $m_e\frac{v^2}{a_0}=\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_0{a}_0^2}$, d'où $$v=\sqrt{\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_0{m}_e{a}_0}}=2,19\times 10^6\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1},a=\frac{v^2}{a_0}=9,0\times 10^{22}\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-2},$$ $$T=\frac{2\pi a_0}{v}=1,5\times 10^{-16}\mathrm{s},$$ $$\mathcal{P}=\frac{e^2{a}^2}{6\pi {\epsilon }_0{c}^3}=\frac{(1,60\times 10^{-19}{)}^2\times (9,0\times 10^{22}{)}^2}{6\pi \times 8,85\times 10^{-12}\times (3,00\times 10^8{)}^3}\approx 4,6\times 10^{-8}\mathrm{W}.$$ L'accélération vaut $10^{22}$ fois celle de la pesanteur.

3) La durée de vie. L'énergie à rayonner est de l'ordre de $13,6\mathrm{eV}=2,2\times 10^{-18}\mathrm{J}$ ; à puissance constante, $$\tau \sim \frac{2,2\times 10^{-18}}{4,6\times 10^{-8}}\approx 5\times 10^{-11}\mathrm{s}.$$ Le calcul exact donne $1,6\times 10^{-11}\mathrm{s}$ : même ordre de grandeur, un peu plus court parce que la puissance augmente quand l'électron se rapproche du noyau. Pendant ce temps, l'électron effectue de l'ordre de $\tau /T\approx 3\times 10^5$ tours. Un atome classique durerait quelques $10^{-11}\mathrm{s}$ ; or les atomes d'hydrogène sont stables depuis des milliards d'années.

4) Un spectre continu. En perdant de l'énergie, l'électron se rapproche du noyau, sa période diminue : la fréquence de révolution, $1/T\approx 7\times 10^{15}\mathrm{Hz}$ au départ (onde d'environ $50\mathrm{nm}$, ultraviolet), croît continûment, et avec elle celle de l'onde rayonnée : l'atome classique émettrait un spectre continu. L'expérience montre au contraire un spectre de raies discrètes (exercice 7), et des atomes stables.

5) La réponse de Bohr. Bohr postule des orbites stationnaires, repérées par $m_{e}vr=n\hslash$, sur lesquelles l'électron ne rayonne pas ; il n'émet ou n'absorbe qu'en changeant d'orbite, le photon emportant la différence d'énergie. L'atome devient stable et les fréquences émises discrètes. Mais c'est un postulat : rien, en mécanique ni en électromagnétisme classiques, n'explique pourquoi un électron accéléré cesserait de rayonner. Bohr suspend les lois classiques sans les remplacer : quantification ad hoc, que la physique quantique complète justifiera.

Ce que l'exercice installe. Réfuter un modèle par un ordre de grandeur : un temps de vie de $10^{-11}\mathrm{s}$ contre des atomes éternels se passe de tout calcul fin. Et distinguer un modèle qui explique d'un modèle qui postule : le modèle de Bohr est correct dans ses prédictions pour l'hydrogène, mais sa règle de quantification n'est pas dérivée.