physique des ondes (PCSI) · Chapitre 5 · Exercice de TD

Les hydrogénoïdes : série de Pickering et loi de Moseley

Formalisme quantique et quantification de l'énergie · D. La quantification de l'énergie : le modèle de Bohr · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Un ion hydrogénoïde est un noyau de charge $+ Z e$ autour duquel ne gravite qu'un seul électron ( $H e^{+}$ pour $Z = 2$ , $L i^{2 +}$ pour $Z = 3$ …). On néglige le mouvement du noyau. On admet les résultats du modèle de Bohr pour l'hydrogène : $r_{n} = n^{2} a_{0}$ avec $a_{0} = \frac{4 π ε _{0} ℏ ^{2}}{m _{e} e ^{2}}$ , et $E_{n} = - \frac{E _{0}}{n ^{2}}$ avec $E_{0} = \frac{e ^{2}}{8 π ε _{0} a _{0}} = 13, 6 eV$ ; et la formule $\frac{1}{λ} = R_{H} (\frac{1}{p ^{2}} - \frac{1}{n ^{2}})$ pour les raies de l'hydrogène, avec $R_{H} = 1, 097 \times 1 0^{7} m^{- 1}$ .

1) Reprendre le modèle de Bohr en remplaçant $e^{2}$ par $Z e^{2}$ dans la force de Coulomb. Sans refaire tout le calcul, montrer par un argument d'échelle que $r_{n} = \frac{n ^{2} a _{0}}{Z}$ et $E_{n} = - \frac{Z ^{2} E _{0}}{n ^{2}}$ . Calculer l'énergie d'ionisation de $H e^{+}$ (valeur mesurée : $54, 4 eV$ ).

2) En 1896, Pickering observe dans le spectre de l'étoile $ζ$ Puppis une série de raies qu'il attribue à l'hydrogène. Montrer que pour $H e^{+}$ les transitions $n \to 4$ ont pour nombres d'onde $\frac{1}{λ} = R_{H} (\frac{1}{4} - \frac{1}{( n /2 ) ^{2}})$ . En déduire que les transitions issues de $n$ pair coïncident avec les raies de Balmer de l'hydrogène, tandis que celles issues de $n$ impair s'intercalent entre elles. Calculer les raies $n = 5$ à $10$ . Pourquoi l'attribution de Pickering était-elle naturelle, et pourquoi Bohr put-il la corriger ?

3) Dans un atome lourd, un électron de la couche la plus profonde ( $n = 1$ ) ne voit presque que le noyau. Quand un trou est créé dans cette couche, un électron de la couche $n = 2$ y descend en émettant un photon X (raie $K_{α}$ ). En 1913, Moseley constate que l'énergie de cette raie suit, pour une longue suite d'éléments, $E_{K α} \approx \frac{3}{4} E_{0} (Z - 1)^{2}$ . Interpréter le facteur $\frac{3}{4}$ et le remplacement de $Z$ par $Z - 1$ . Calculer $E_{K α}$ pour le cuivre ( $Z = 29$ ; valeur mesurée : $8, 05 keV$ ) et le fer ( $Z = 26$ ; $6, 40 keV$ ).

4) Pourquoi la loi de Moseley a-t-elle permis de classer les éléments par leur numéro atomique plutôt que par leur masse ? Qu'est-ce que le modèle de Bohr ne permet pas de calculer dans un atome à plusieurs électrons ?

Corrigé

Stratégie. On ne refait aucun calcul : on suit où $e^{2}$ intervient dans les formules de Bohr, et l'on remplace. C'est la méthode des lois d'échelle, qui transforme un résultat en famille de résultats.

1) Les lois d'échelle. La charge n'intervient dans les formules de Bohr que par le produit $e^{2}$ de la force de Coulomb ; pour un noyau $Z e$ , on remplace $e^{2}$ par $Z e^{2}$ . Le rayon de Bohr, inversement proportionnel à $e^{2}$ , devient $a_{0} / Z$ ; l'énergie $E_{0} = \frac{e ^{2}}{8 π ε _{0} a _{0}}$ est proportionnelle à $e^{2} \times \frac{1}{a _{0}}$ , donc à $(e^{2})^{2}$ , et devient $Z^{2} E_{0}$ : $r_{n} = \frac{n ^{2} a _{0}}{Z}, E_{n} = - \frac{Z ^{2} E _{0}}{n ^{2}} .$ Le noyau plus chargé attire l'électron plus près et le lie plus fort ( $Z^{2}$ : un facteur $Z$ pour la charge, un autre pour la distance). Pour $H e^{+}$ , $E_{ion} = 4 \times 13, 6 = 54, 4 eV$ : exactement la valeur mesurée. Le modèle de Bohr marche pour tout système à un seul électron.

2) La série de Pickering. Pour $H e^{+}$ , les nombres d'onde sont multipliés par $Z^{2} = 4$ : $\frac{1}{λ} = 4 R_{H} (\frac{1}{16} - \frac{1}{n ^{2}}) = R_{H} (\frac{1}{4} - \frac{4}{n ^{2}}) = R_{H} (\frac{1}{4} - \frac{1}{( n /2 ) ^{2}}) .$ Pour $n = 2 k$ pair, $\frac{1}{( n /2 ) ^{2}} = \frac{1}{k ^{2}}$ : on retrouve exactement la formule de Balmer de l'hydrogène, $R_{H} (\frac{1}{4} - \frac{1}{k ^{2}})$ . Pour $n$ impair, $n /2$ est un demi-entier, et la raie tombe entre deux raies de Balmer. Valeurs :

$n$	$5$	$6$	$7$	$8$	$9$	$10$
$λ$ (nm)	$1012$	$656$	$541$	$486$	$454$	$434$

Les raies $6 \to 4$ , $8 \to 4$ , $10 \to 4$ se confondent avec $H α$ , $H β$ , $H γ$ ; les raies $7 \to 4$ ( $541 nm$ ) et $9 \to 4$ ( $454 nm$ ) s'intercalent. La raie de $541 nm$ est bien observée dans les spectres d'étoiles chaudes, où elle est attribuée à l'hélium ionisé.

L'attribution de Pickering était naturelle : une raie sur deux coïncidait avec une raie connue de l'hydrogène, et la série entière s'écrivait comme une formule de Balmer « avec des demi-entiers ». Bohr put la corriger parce que son modèle prédit une loi en $Z^{2} / n^{2}$ : un facteur $4$ et des entiers $n$ redonnent les demi-entiers apparents. Des expériences de laboratoire sur l'hélium confirmèrent l'attribution ; les mesures précises montrent d'ailleurs un décalage de quelques dixièmes de nanomètre avec les raies de l'hydrogène, dû au mouvement du noyau.

3) La loi de Moseley. La raie $K_{α}$ est une transition $2 \to 1$ ; dans un hydrogénoïde, son énergie serait $E_{2} - E_{1} = Z^{2} E_{0} (1 - \frac{1}{4}) = \frac{3}{4} Z^{2} E_{0} .$ Le facteur $\frac{3}{4}$ est donc celui de la transition $2 \to 1$ , le même que pour $Lα$ de l'hydrogène ( $10, 2 eV = \frac{3}{4} \times 13, 6 eV$ ). Le remplacement de $Z$ par $Z - 1$ traduit l'écrantage : l'électron qui descend voit le noyau de charge $Z e$ , en partie masqué par l'autre électron resté dans la couche $n = 1$ , entre lui et le noyau ; la charge « effective » est voisine de $(Z - 1) e$ . D'où $E_{K α} \approx \frac{3}{4} \times 13, 6 eV \times (Z - 1)^{2} = 10, 2 (Z - 1)^{2} eV .$ Cuivre : $10, 2 \times 2 8^{2} = 8000 eV = 8, 00 keV$ , contre $8, 05 keV$ mesurés ( $0, 6$ % d'écart). Fer : $10, 2 \times 2 5^{2} = 6375 eV \approx 6, 38 keV$ , contre $6, 40 keV$ . Un modèle d'électron unique, corrigé d'une unité de charge, prévoit des énergies de photons X à moins de $1$ % près.

4) Le numéro atomique. La loi de Moseley relie une grandeur mesurée avec précision à un entier, $Z$ , la charge du noyau : $E_{K α}$ croît par sauts réguliers. Les inversions du tableau de Mendeleïev (cobalt avant nickel, argon avant potassium, bien que plus lourds) sont confirmées, et un saut double signale un élément manquant, tel le futur technétium ( $Z = 43$ ). Le numéro atomique devient une grandeur mesurée.

Le modèle de Bohr ne permet pas de calculer les niveaux d'un atome à plusieurs électrons, qui se repoussent ; le $Z - 1$ de Moseley est un correctif empirique, pas une conséquence du modèle.

Ce que l'exercice installe. Le raisonnement par lois d'échelle sur un modèle ( $a \propto 1/ Z$ , $E \propto Z^{2}$ ), qui étend un résultat à toute une famille sans refaire le calcul ; et l'usage d'un modèle hors de son domaine strict, avec un correctif physique (l'écrantage), assumé comme tel. Deux épisodes historiques montrent la portée du modèle de Bohr : une série stellaire mal attribuée, et le classement périodique par le numéro atomique.

100 % gratuit

La suite du chapitre est sur Adloun

17 autres exercices corrigés dans ce chapitre, et 12 à chercher avec le tuteur
Les 2 QCM du chapitre, le premier sans compte
Le podcast et la vidéo du chapitre et la correction filmée du TD : 2 minutes sans compte
Le tuteur, qui guide pas à pas sans donner la réponse

Exercice suivant et tuteur

Sans compte : le cours, le premier QCM et 2 minutes de podcast et de vidéo. Exercices et tuteur : inscription gratuite en 30 secondes, sans carte bancaire.

Le cours du chapitre · Tous les exercices du chapitre

Exercice suivant et tuteur →