Lire une densité de probabilité

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La définition de la densité de probabilité, la condition de normalisation $\int |\psi {|}^2\mathrm{d}x=1$, et une intégrale de sinus carré, qu'on linéarise. Aucune propriété de la fonction d'onde n'est à établir : on lit une densité donnée.

1) L'état uniforme. La particule est sûrement quelque part sur $[0,L]$, donc $${\int }_0^{L}C\mathrm{d}x=CL=1,C=\frac{1}{L}.$$ Une probabilité est un nombre sans dimension ; $|\psi {|}^2\mathrm{d}x$ en est une, donc $|\psi {|}^2$ s'exprime en ${\mathrm{m}}^{-1}$ : c'est une probabilité par unité de longueur, exactement comme une masse linéique est une masse par unité de longueur. La probabilité cherchée est l'aire sous la densité : $$P([x_1,x_2])={\int }_{x_1}^{x_2}\frac{\mathrm{d}x}{L}=\frac{x_2-x_1}{L}.$$ Pour la bille classique à vitesse constante $v$, la fraction du temps passée dans $[x_1,x_2]$ est, sur un aller, $\frac{(x_2-x_1)/v}{L/v}=\frac{x_2-x_1}{L}$ : si l'on « photographie » la bille à un instant pris au hasard, on la trouve dans $[x_1,x_2]$ avec cette probabilité. La densité classique est donc uniforme, égale à $1/L$.

2) Lecture des densités. Le sinus carré est sans dimension et $2/L$ est en ${\mathrm{m}}^{-1}$ : ${\rho }_n$ a bien la dimension d'une densité de probabilité linéique.

• Pour $n=1$ : ${\rho }_1$ est nulle aux murs, maximale en $x=L/2$, où elle vaut $2/L$, deux fois la densité classique.
• Pour $n=2$ : ${\sin }^2(2\pi x/L)$ s'annule en $x=0$, $x=L/2$ et $x=L$, et vaut $1$ en $x=L/4$ et $x=3L/4$. Il y a deux positions les plus probables, et un nœud au milieu : la densité y est nulle, la particule n'y est jamais détectée.
• En général, ${\rho }_n$ présente $n$ maximums et $n-1$ nœuds intérieurs.

3) La moitié centrale. On linéarise : ${\sin }^{2}u=\frac{1-\cos 2u}{2}$. Alors $$P_n={\int }_{L/4}^{3L/4}\frac{2}{L}{\sin }^2\left(\frac{n\pi x}{L}\right)\mathrm{d}x=\frac{1}{L}{\int }_{L/4}^{3L/4}\left(1-\cos \frac{2n\pi x}{L}\right)\mathrm{d}x=\frac{1}{2}-\frac{1}{2n\pi }{\left[\sin \frac{2n\pi x}{L}\right]}_{L/4}^{3L/4}.$$ Le crochet vaut $\sin \frac{3n\pi }{2}-\sin \frac{n\pi }{2}$. Pour $n$ pair, les deux sinus sont nuls ; pour $n$ impair, $\sin \frac{3n\pi }{2}=-\sin \frac{n\pi }{2}$. Dans tous les cas : $$P_n=\frac{1}{2}+\frac{\sin (n\pi /2)}{n\pi }.$$ Valeurs : $P_1=\frac{1}{2}+\frac{1}{\pi }\approx 0,818$ ; $P_2=0,500$ ; $P_3=\frac{1}{2}-\frac{1}{3\pi }\approx 0,394$ ; $P_5\approx 0,564$.

La prédiction classique est $\frac{1}{2}$. Dans l'état $n=1$, la particule quantique est beaucoup plus souvent au centre qu'une bille (82 % contre 50 %) ; à l'inverse, la probabilité de la trouver dans le premier quart $[0,L/4]$ n'est que de $\frac{1}{4}-\frac{1}{2\pi }\approx 0,09$, contre $0,25$ classiquement. Mais l'écart à $\frac{1}{2}$ est majoré par $\frac{1}{n\pi }$ : il tend vers $0$ quand $n\to +\infty$. Les oscillations de ${\rho }_n$ deviennent si serrées que, sur tout intervalle de taille fixée, leur moyenne redonne la densité uniforme $1/L$.

Le point délicat. Ce n'est pas une coïncidence : c'est le principe de correspondance. Aux grands nombres quantiques — aux grandes énergies, ici — la description quantique rejoint la description classique. La physique quantique ne contredit pas la mécanique de Newton là où celle-ci marche ; elle la contient comme cas limite.

4) Le nœud central. La densité ${\rho }_2$ est symétrique par rapport à $x=L/2$ : à chaque position $L/2+u$ correspond une position $L/2-u$ de même probabilité. La position moyenne est donc $⟨x⟩=L/2$. Or ${\rho }_2(L/2)=0$ : la particule n'est jamais détectée à sa position moyenne. Moyenne et position la plus probable ($L/4$ ou $3L/4$) sont deux notions distinctes, comme pour toute loi de probabilité à deux bosses.

Plus troublant : la particule est détectée, d'une mesure à l'autre, tantôt dans la moitié gauche, tantôt dans la moitié droite, avec la même probabilité $\frac{1}{2}$, mais jamais au point qui les sépare. Une bille suivant une trajectoire continue devrait passer par $x=L/2$ pour changer de moitié. On ne peut pas se représenter l'état quantique comme une trajectoire mal connue : la question « par où passe-t-elle ? » n'a pas de réponse dans ce cadre. Seuls les résultats de mesure ont un sens, et leur loi est ${\rho }_2$.

5) Ce que $|\psi {|}^2$ représente. $|\psi (x){|}^2\mathrm{d}x$ est la probabilité de détecter la particule entre $x$ et $x+\mathrm{d}x$ ; on la mesure par l'histogramme des positions trouvées sur un grand nombre de systèmes préparés à l'identique. Ce n'est pas une particule « étalée » : chaque détection donne une particule entière, en un point. Ce n'est pas non plus notre ignorance d'une position préexistante : la question 4 montre qu'aucune trajectoire sous-jacente n'est compatible avec la loi observée.

Ce que l'exercice installe. Trois réflexes de lecture qui serviront dans tout le chapitre : une densité de probabilité a la dimension inverse d'une longueur, et une probabilité est une aire ; on compare toujours la prédiction quantique à ce que ferait un objet classique, et l'écart s'efface aux grands nombres quantiques ; enfin, la notion de trajectoire n'est pas une donnée de départ de la physique quantique, et des résultats comme le nœud central la rendent intenable.