Pourquoi l'atome ne s'effondre pas : sa taille par Heisenberg

Ce qu'on a le droit d'utiliser. L'inégalité de Heisenberg en ordre de grandeur, $\Delta p\Delta x\gtrsim \hslash$, l'énergie cinétique newtonienne et l'énergie potentielle de Coulomb. Aucune fonction d'onde : c'est un argument d'échelle.

1) Le prix de la localisation. Localisé dans une région de taille $\Delta x\sim r$, l'électron a une quantité de mouvement dispersée d'au moins $\Delta p\sim \hslash /r$. Sa quantité de mouvement moyenne est nulle (l'atome ne se déplace pas), mais elle fluctue d'une quantité de cet ordre : sa valeur typique est $p\sim \Delta p$, et l'énergie cinétique est de l'ordre de $$E_{\mathrm{c}}\sim \frac{(\Delta p{)}^2}{2m_e}\sim \frac{{\hslash }^2}{2m_e{r}^2}.$$ Si l'électron tombait sur le noyau, $r\to 0$ imposerait $E_{\mathrm{c}}\to +\infty$ : le confinement coûte une énergie cinétique qui croît comme $1/r^2$. C'est l'inégalité de Heisenberg qui interdit l'effondrement.

2) Le compromis. Le premier terme, l'énergie cinétique de confinement, positive, pousse l'électron à s'étaler ; le second, l'énergie potentielle de Coulomb, négative, le pousse vers le noyau. Près de $0$, le terme en $1/r^2$ l'emporte ($E\to +\infty$) ; au loin, le terme en $-1/r$ domine ($E<0$, tendant vers $0$). Il y a donc un minimum, où la dérivée s'annule : $$E^{\prime }(r)=-\frac{{\hslash }^2}{m_e{r}^3}+\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}=0⟺r^{\star }=\frac{4\pi {\epsilon }_0{\hslash }^2}{m_e{e}^2}.$$ Numériquement, $r^{\star }=\frac{4\pi \times 8,85\times 10^{-12}\times (1,055\times 10^{-34}{)}^2}{9,11\times 10^{-31}\times (1,60\times 10^{-19}{)}^2}=5,3\times 10^{-11}\mathrm{m}$ : c'est exactement l'expression du rayon de Bohr $a_0$. En ce point, $\frac{{\hslash }^2}{m_e{r}^{\star 2}}=\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_0{r}^{\star }}$, donc $$E(r^{\star })=\frac{1}{2}\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_0{r}^{\star }}-\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_0{r}^{\star }}=-\frac{e^2}{8\pi {\epsilon }_0{a}_0}\approx -13,6\mathrm{eV}$$ (on trouve $-13,55\mathrm{eV}$ avec les données arrondies, $-13,61\mathrm{eV}$ avec les constantes exactes). L'énergie d'ionisation mesurée est $13,6\mathrm{eV}$.

3) Le même raisonnement, un autre facteur. Avec $\Delta p\sim \hslash /(2r)$, l'énergie cinétique devient $\frac{{\hslash }^2}{8m_e{r}^2}$, quatre fois plus petite. On refait le même calcul en remplaçant ${\hslash }^2$ par ${\hslash }^2/4$ : $$r^{\star }=\frac{a_0}{4}\approx 1,3\times 10^{-11}\mathrm{m},E(r^{\star })=-4\times 13,6\mathrm{eV}\approx -54\mathrm{eV}.$$ Le rayon change d'un facteur $4$, l'énergie d'un facteur $4$. L'accord parfait de la question 2 est donc une coïncidence heureuse : le choix $\Delta p\sim \hslash /r$ n'était pas plus justifié que $\hslash /(2r)$. L'inégalité de Heisenberg ne donne qu'un ordre de grandeur : elle dit que l'atome mesure « quelques $10^{-11}$ à $10^{-10}\mathrm{m}$ » et que ses énergies de liaison valent « quelques eV à quelques dizaines d'eV ». C'est déjà beaucoup — c'est l'échelle de toute la chimie — mais il ne faut pas lui demander plus.

Le point délicat. Le programme insiste : Heisenberg s'utilise en ordre de grandeur. Écrire « $r=a_0$ exactement par Heisenberg » serait une faute de raisonnement, même si le nombre est juste.

4) Un atome presque vide. Le rapport des tailles est $\frac{5\times 10^{-11}}{10^{-15}}\approx 5\times 10^4$ : un noyau de $1\mathrm{cm}$ dans un atome de $500\mathrm{m}$. La matière ordinaire tire son volume de cette énergie de confinement des électrons.

Ce que l'exercice installe. L'usage de l'inégalité de Heisenberg comme outil d'estimation : on remplace la quantité de mouvement par sa dispersion, on écrit une énergie, on cherche le compromis. Et la discipline qui l'accompagne : un facteur $2$ arbitraire dans l'hypothèse change le résultat d'un facteur $4$ ; on ne retient donc que l'ordre de grandeur, et l'on se garde de célébrer une coïncidence.