Problème : le modèle de Bohr de l'atome d'hydrogène, niveaux d'énergie et formule de Balmer-Rydberg

Ce qu'on a le droit d'utiliser. La mécanique du point (mouvement circulaire uniforme, énergie potentielle newtonienne), les relations de Planck-Einstein et de de Broglie, Heisenberg en ordre de grandeur ; le seul ingrédient nouveau est le postulat de Bohr. C'est la capacité exigible du programme : « exploiter l'hypothèse de quantification du moment cinétique orbital pour obtenir l'expression des niveaux d'énergie électronique de l'atome d'hydrogène ».

1) L'orbite classique. Dans le référentiel du proton, supposé galiléen, l'électron subit la force de Coulomb, centrale et attractive, de norme $\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}$. En mouvement circulaire uniforme, l'accélération est centripète, de norme $v^2/r$. Le principe fondamental de la dynamique, projeté sur le vecteur radial, donne $$m_e\frac{v^2}{r}=\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}\text{d’ouˋ}{m}_e{v}^2=\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_{0}r}.$$ L'énergie potentielle de l'interaction coulombienne attractive est $E_{\mathrm{p}}=-\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_{0}r}$ (nulle à l'infini). Donc $$E_{\mathrm{m}}=\frac{1}{2}{m}_e{v}^2-\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_{0}r}=\frac{1}{2}\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_{0}r}-\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_{0}r}=-\frac{e^2}{8\pi {\epsilon }_{0}r}=-\frac{1}{2}{m}_e{v}^2.$$ Comme pour toute orbite circulaire dans un champ newtonien, $E_{\mathrm{c}}=-E_{\mathrm{p}}/2$. La mécanique classique n'impose aucune valeur de $r$ : tout rayon est permis, avec la vitesse correspondante, et l'énergie varie continûment.

2) La quantification. On dispose de deux relations : $m_e{v}^{2}r=\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_0}$ (question 1) et $m_{e}vr=n\hslash$ (postulat). En divisant la première par la seconde : $$v_n=\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_0\hslash }\cdot \frac{1}{n}=\frac{v_1}{n},v_1=\frac{e^2}{4\pi {\epsilon }_0\hslash }.$$ Puis $r_n=\frac{n\hslash }{m_e{v}_n}=\frac{n^2\hslash }{m_e{v}_1}$, soit $$r_n=n^2{a}_0,a_0=\frac{4\pi {\epsilon }_0{\hslash }^2}{m_e{e}^2}.$$ Numériquement : $$a_0=\frac{4\pi \times 8,85\times 10^{-12}\times (1,055\times 10^{-34}{)}^2}{9,11\times 10^{-31}\times (1,60\times 10^{-19}{)}^2}=5,31\times 10^{-11}\mathrm{m},$$ soit $0,529\times 10^{-10}\mathrm{m}$ avec les constantes exactes : le rayon de Bohr ; $$v_1=\frac{(1,60\times 10^{-19}{)}^2}{4\pi \times 8,85\times 10^{-12}\times 1,055\times 10^{-34}}=2,18\times 10^6\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1},\frac{v_1}{c}=7,3\times 10^{-3}\approx \frac{1}{137}.$$ La vitesse de l'électron dans l'état fondamental vaut moins d'un centième de celle de la lumière, et $v_n$ décroît avec $n$ : le traitement non relativiste est justifié (les corrections relativistes sont de l'ordre de $(v/c{)}^2\sim 5\times 10^{-5}$).

3) Les niveaux d'énergie. En reportant $r_n$ dans l'énergie de la question 1 : $$E_n=-\frac{e^2}{8\pi {\epsilon }_0{n}^2{a}_0}=-\frac{E_0}{n^2},E_0=\frac{e^2}{8\pi {\epsilon }_0{a}_0}=\frac{m_e{e}^4}{32{\pi }^2{\epsilon }_0^2{\hslash }^2}.$$ Numériquement, $E_0=\frac{(1,60\times 10^{-19}{)}^2}{8\pi \times 8,85\times 10^{-12}\times 5,31\times 10^{-11}}=2,17\times 10^{-18}\mathrm{J}\approx 13,6\mathrm{eV}$ ($13,55\mathrm{eV}$ avec les données arrondies, $13,606\mathrm{eV}$ avec les constantes exactes). L'énergie est quantifiée : $-13,6$ ; $-3,40$ ; $-1,51$ ; $-0,85\mathrm{eV}$… et les niveaux s'accumulent vers $0$. L'énergie d'ionisation depuis le fondamental vaut $E_{\infty }-E_1=E_0=13,6\mathrm{eV}$, contre $13,598\mathrm{eV}$ mesurés : on retrouve, à partir des seules constantes fondamentales, la loi empirique lue dans le spectre à l'exercice 7.

4) La formule de Balmer-Rydberg. Lors de la transition $n\to p$, le photon emporte l'énergie $E_n-E_p=E_0\left(\frac{1}{p^2}-\frac{1}{n^2}\right)=\frac{hc}{\lambda }$, donc $$\frac{1}{\lambda }=R_H\left(\frac{1}{p^2}-\frac{1}{n^2}\right),R_H=\frac{E_0}{hc}=\frac{m_e{e}^4}{8{\epsilon }_0^2{h}^{3}c}.$$ Avec les données arrondies, $R_H\approx 1,09\times 10^7{\mathrm{m}}^{-1}$, précis à mieux que $1$ % ; avec les constantes à six chiffres, $1,09737\times 10^7{\mathrm{m}}^{-1}$. L'écart relatif à la valeur mesurée est $\frac{1,09737-1,09678}{1,09737}\approx 5,4\times 10^{-4}$, soit précisément $m_e/m_p=1/1836$ : l'écart vient de ce que le proton n'est pas infiniment lourd — il tourne lui aussi, légèrement, autour du centre de masse.

Raies de Balmer ($p=2$), avec la valeur mesurée de $R_H$ : $$n=3:656\mathrm{nm}(\text{rouge});n=4:486\mathrm{nm}(\text{bleu-vert});$$ $$n=5:434\mathrm{nm}(\text{bleu});n=6:410\mathrm{nm}(\text{violet}),$$ et la limite de série, $n\to \infty$ : ${\lambda }_{\infty }=\frac{4}{R_H}\approx 365\mathrm{nm}$, dans le proche ultraviolet. Les raies suivantes ($397\mathrm{nm}$ pour $n=7$, puis de plus en plus serrées vers $365\mathrm{nm}$) tombent dans le violet extrême et le proche ultraviolet, où la sensibilité de l'œil devient négligeable : on n'en voit que quatre, celles du tube à hydrogène du cours.

5) La lecture de de Broglie. La longueur d'onde de de Broglie de l'électron sur l'orbite $n$ est ${\lambda }_n=\frac{h}{m_e{v}_n}$. Or $$m_e{v}_n{r}_n=n\hslash =\frac{nh}{2\pi }⟺2\pi r_n=n\frac{h}{m_e{v}_n}=n{\lambda }_n.$$ Pour $n=1$ : $2\pi a_0=2\pi \times 5,31\times 10^{-11}=3,34\times 10^{-10}\mathrm{m}$, et ${\lambda }_1=\frac{6,63\times 10^{-34}}{9,11\times 10^{-31}\times 2,18\times 10^6}=3,34\times 10^{-10}\mathrm{m}$ : la circonférence contient exactement une longueur d'onde.

Interprétation (qualitative) : une onde qui court le long de l'orbite doit se raccorder à elle-même après un tour ; sinon, les tours successifs se superposent avec des déphasages variés et l'onde se détruit. Seules subsistent les orbites dont la circonférence contient un nombre entier de longueurs d'onde, comme une corde fixée ne vibre qu'à des fréquences discrètes. La quantification postulée devient la condition d'existence d'une onde stationnaire : c'est l'argument de de Broglie (1924). Ce n'est qu'une image, comme le montre la question 6.

6) Les limites. Localisé à $\Delta x\sim r_n$, l'électron a une quantité de mouvement dispersée de $\Delta p\sim \frac{\hslash }{r_n}$. Or, d'après le postulat, $p_n=m_e{v}_n=\frac{n\hslash }{r_n}$. Donc $$\frac{\Delta p}{p_n}\sim \frac{1}{n}.$$ Pour $n=1$, la dispersion de la quantité de mouvement est du même ordre que la quantité de mouvement elle-même : ni la direction ni la valeur de la vitesse ne sont définies, et parler d'une orbite circulaire parcourue à vitesse $v_1$ n'a pas de sens. Le modèle de Bohr donne les bons niveaux d'énergie, mais l'image de trajectoire qui le fonde est incompatible avec l'inégalité de Heisenberg. Pour $n\gg 1$, en revanche, $\Delta p\ll p_n$ : l'orbite classique redevient une bonne description — on retrouve le principe de correspondance de l'exercice 1.

Autres limites : la quantification et la stabilité des orbites sont postulées, contre l'électromagnétisme classique (exercice 9) ; le modèle échoue pour les atomes à plusieurs électrons (exercice 8) ; il ignore l'intensité des raies, leur structure fine, la liaison chimique.

Le résultat établi — niveaux de l'atome d'hydrogène et formule de Balmer-Rydberg (Bohr, 1913). La quantification du moment cinétique orbital, $m_{e}vr=n\hslash$, impose à l'électron de l'atome d'hydrogène des orbites de rayons $r_n=n^2{a}_0$, avec $a_0=\frac{4\pi {\epsilon }_0{\hslash }^2}{m_e{e}^2}\approx 0,53\times 10^{-10}\mathrm{m}$, et des énergies $E_n=-\frac{E_0}{n^2}$, avec $E_0=\frac{m_e{e}^4}{32{\pi }^2{\epsilon }_0^2{\hslash }^2}\approx 13,6\mathrm{eV}$ ; les raies émises vérifient $\frac{1}{\lambda }=R_H\left(\frac{1}{p^2}-\frac{1}{n^2}\right)$ avec $R_H=\frac{E_0}{hc}$, en accord avec l'expérience à $5\times 10^{-4}$ près.

Ce que le problème installe. Le seul calcul que le programme demande dans cette partie, conduit jusqu'au bout : deux équations (la dynamique newtonienne et la règle de quantification) donnent rayons, vitesses, énergies et spectre, à partir des seules constantes fondamentales. Et, autour de ce calcul, l'attitude critique qui fait la valeur du modèle : vérifier qu'il est non relativiste, interpréter sa règle par l'onde de de Broglie, mesurer sa limite par l'inégalité de Heisenberg. Le modèle de Bohr est faux dans son image et juste dans ses nombres ; c'est précisément ce qui a conduit à la physique quantique.