La corde de Melde, quantitativement

La stratégie. Un vibreur impose au fil une oscillation forcée à la fréquence $f$ ; le fil répond fortement quand $f$ coïncide avec l'une de ses fréquences propres, celles d'un fil fixé à ses deux bouts. On écrit l'égalité des deux fréquences, et on la lit dans tous les sens : masse, fréquence, masse linéique.

1) Conditions aux limites et résonance. Le fil repose dans la gorge de la poulie, qui ne se déplace pas transversalement : $y(L,t)=0$, un nœud. Le vibreur impose $y(0,t)=a\cos (2\pi ft)$, avec $a\approx 1\mathrm{mm}$, vingt fois moins que l'amplitude des ventres : à l'échelle de l'onde stationnaire, ce point bouge très peu, c'est presque un nœud. Le fil se comporte donc comme une corde fixée à ses deux extrémités, de fréquences propres $f_n=n\frac{c}{2L}$, avec $c=\sqrt{T_0/\mu }=\sqrt{mg/\mu }$. Sans amortissement, la réponse devient très grande quand la fréquence imposée est une fréquence propre : $$f=\frac{n}{2L}\sqrt{\frac{mg}{\mu }}⟺L=n\frac{\lambda }{2},\lambda =\frac{c}{f}.$$ Le fil présente alors $n$ fuseaux de longueur $\lambda /2$, séparés par des nœuds. En isolant $m$ : $$m_n=\frac{4\mu L^2{f}^2}{n^{2}g}=\frac{m_1}{n^2}.$$

2) Les masses de résonance. $m_1=\frac{4\times 1,0\times 10^{-3}\times 1,20^2\times 50^2}{9,81}=1,47\mathrm{kg}$, puis $m_n=m_1/n^2$ :

La résonance à un fuseau demande plus que le kilogramme de la boîte : elle n'est pas observable. Les suivantes le sont, jusqu'à $m_{12}=10,2\mathrm{g}$ ($m_{13}=8,7\mathrm{g}$ est trop léger) : de $2$ à $12$ fuseaux. Aux grands $n$, la tension devient faible ($0,10\mathrm{N}$ pour $12$ fuseaux) devant le poids du fil ($\mu gL=0,012\mathrm{N}$, soit $12\%$) : le fil n'est plus rectiligne et le modèle se dégrade.

Masses de résonance à $50\mathrm{Hz}$ en fonction de $1/n^2$ : une droite de pente $4\mu L^2{f}^2/g$, dont la mesure donne $\mu$.

3) À masse fixée, on balaie la fréquence. Avec $m=200\mathrm{g}$, $T_0=1,96\mathrm{N}$ et $c=\sqrt{1,962/1,0\times 10^{-3}}=44,3\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$ ; les résonances sont aux fréquences propres $$f_n=n\frac{c}{2L}=n\times 18,46\mathrm{Hz}:18,5;36,9;55,4;73,8\mathrm{Hz}\dots$$ À $50\mathrm{Hz}$, il n'y a pas de résonance avec $200\mathrm{g}$, qui tombe entre $m_3=163\mathrm{g}$ et $m_2=367\mathrm{g}$ : le fil vibre à peine. Les deux réglages sont équivalents : à fréquence fixée, on cherche la tension ; à tension fixée, la fréquence.

4) Une mesure de $\mu$. Quatre fuseaux à $52,0\mathrm{Hz}$ avec $100\mathrm{g}$ : $mg=\frac{4\mu L^2{f}^2}{n^2}$, d'où $$\mu =\frac{n^{2}mg}{4L^2{f}^2}=\frac{16\times 0,100\times 9,81}{4\times 1,20^2\times 52,0^2}=1,01\times 10^{-3}\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^{-1},$$ en accord avec la valeur annoncée. Une résonance observée est une mesure : de $\mu$ si l'on connaît $f$ et $T_0$, de $f$ si l'on connaît $\mu$ et $T_0$. En pratique, on relève plusieurs résonances et l'on trace $m_n$ en fonction de $1/n^2$ : la pente donne $\mu$ avec une meilleure précision.

5) Les limites du modèle. Sans amortissement, à la résonance exacte, le vibreur fournit de l'énergie au fil à chaque période sans que rien ne la dissipe : l'amplitude croîtrait sans limite. En réalité, le frottement de l'air, les frottements internes du fil et les pertes dans la poulie dissipent une puissance qui croît avec l'amplitude ; l'amplitude se stabilise quand la puissance fournie égale la puissance dissipée. Pour la même raison, la résonance a une largeur : on voit des fuseaux sur un petit intervalle de masses ou de fréquences, et non pour une valeur unique. Le modèle sans amortissement prévoit où sont les résonances, pas leur amplitude.

Le point attaché à la lame n'est pas immobile : il oscille avec l'amplitude $a$. L'onde stationnaire, de la forme $A\sin (k{x}^{\prime })\cos (2\pi ft)$ avec $x^{\prime }$ compté depuis le nœud le plus proche de la lame, doit valoir $a$ sur la lame : si $\delta$ est la distance de la lame à ce nœud, $A\sin (k\delta )\approx Ak\delta =a$, soit $$\delta \approx \frac{a}{A}\frac{\lambda }{2\pi }.$$ Pour quatre fuseaux, $\lambda =2L/4=0,60\mathrm{m}$ et $\delta \approx \frac{1}{20}\times \frac{0,60}{2\pi }=4,8\mathrm{mm}$. Le nœud est à quelques millimètres de la lame (d'un côté ou de l'autre selon que la fréquence est un peu au-dessus ou au-dessous de la fréquence propre) : la longueur qui résonne est $L\pm \delta$, à $0,4\%$ près de $L$, ce qui déplace la masse de résonance d'environ $0,8\%$ ($m_n\propto L^2$). Plus le vibreur est faible devant les ventres, meilleur est le modèle.

Ce que l'exercice installe. En régime forcé, la corde répond fortement quand la fréquence imposée coïncide avec une fréquence propre : la condition de résonance est l'égalité de deux fréquences, $f=nc/(2L)$. À fréquence fixée, on règle la tension ($m_n=m_1/n^2$) ; à tension fixée, la fréquence ($f_n=n{f}_1$). Une résonance observée mesure $\mu$. Le modèle sans amortissement prévoit les positions des résonances, pas leurs amplitudes ; un vibreur de faible amplitude est presque un nœud, à une distance $\frac{a}{A}\frac{\lambda }{2\pi }$ près.