La corde de mi aigu d'une guitare : accorder, fretter, pincer, capter

La stratégie. Le fondamental fixe la célérité ($c=2L{f}_1$), la célérité et la masse linéique fixent la tension ($T_0=\mu c^2$). Le reste découle de la forme des modes, $\sin (n\pi x/L)$ : un mode est absent du son s'il a un nœud là où l'on pince, il est absent du signal s'il a un nœud sous le micro.

1) Masse linéique, célérité, tension. La corde est un cylindre plein : $\mu =\rho \frac{\pi d^2}{4}=7850\times \frac{\pi \times (0,254\times 10^{-3}{)}^2}{4}=3,98\times 10^{-4}\mathrm{kg}{\mathrm{m}}^{-1}$, soit $0,40\mathrm{g}$ par mètre. Le fondamental est le mode $n=1$, de longueur d'onde $2L$ : $f_1=\frac{c}{2L}$, d'où $$c=2L{f}_1=2\times 0,648\times 329,63=427\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1},$$ puis $$T_0=\mu c^2=3,978\times 10^{-4}\times 427,2^2=72,6\mathrm{N}.$$ L'écart à la valeur du fabricant, $72,1\mathrm{N}$, est de $0,7\%$ : il suffit d'une erreur de $0,35\%$ sur le diamètre (moins d'un micromètre), qui intervient au carré, pour l'expliquer. La corde porte l'équivalent du poids d'une masse de $7,4\mathrm{kg}$. La célérité, $427\mathrm{m}{\mathrm{s}}^{-1}$, n'a rien à voir avec celle du son : l'onde de la corde et l'onde sonore qu'elle émet ont la même fréquence, mais pas la même longueur d'onde ($2L=1,30\mathrm{m}$ sur la corde, $343,2/329,63=1,04\mathrm{m}$ dans l'air).

2) Les modes propres. Avec les extrémités fixes en $x=0$ et $x=L$, $$y_n(x,t)=A_n\sin \left(\frac{n\pi x}{L}\right)\cos (2\pi f_{n}t+{\phi }_n),f_n=n{f}_1=n\times 329,63\mathrm{Hz}.$$ Les nœuds du mode $n$ sont aux points où $\sin (n\pi x/L)=0$, soit $x=jL/n$ avec $j=0,1,\dots ,n$ : $n+1$ nœuds, dont les deux extrémités, séparés de $L/n$, et $n$ ventres à mi-chemin. Les fréquences audibles vérifient $n{f}_1⩽20000\mathrm{Hz}$, soit $n⩽60,7$ : 60 modes ($f_{60}=19,8\mathrm{kHz}$).

Un mode est une onde stationnaire : son expression est un produit d'une fonction de $x$ par une fonction de $t$, tous les points vibrent en phase (ou en opposition de phase), avec une amplitude $|A_n\sin (n\pi x/L)|$ fixée par leur position, et rien ne se déplace le long de la corde. Avec $k_n=n\pi /L$ et ${\omega }_n=2\pi f_n=c{k}_n$ (on prend ${\phi }_n=0$), $$\sin (k_{n}x)\cos ({\omega }_{n}t)=\frac{1}{2}\sin (k_{n}x-{\omega }_{n}t)+\frac{1}{2}\sin (k_{n}x+{\omega }_{n}t):$$ c'est la somme de deux ondes progressives de même amplitude, l'une vers le chevalet, l'autre vers le sillet, qui se réfléchissent sans fin sur les deux extrémités fixes.

3) Les frettes. La frette $k$ laisse vibrer la longueur $L{2}^{-k/12}$ ; elle est donc à la distance $L(1-2^{-k/12})$ du sillet : $$k=1:648\times (1-0,94387)=36,4\mathrm{mm};k=12:648\times (1-\frac{1}{2})=324,0\mathrm{mm}.$$ La douzième frette est au milieu de la corde : diviser la longueur par deux double la fréquence, c'est l'octave. L'écart entre les frettes $k$ et $k+1$ vaut $L{2}^{-k/12}(1-2^{-1/12})$ : chaque écart est le précédent multiplié par $2^{-1/12}=0,944$, une progression géométrique ($36,4\mathrm{mm}$ entre le sillet et la première frette, $34,3\mathrm{mm}$ entre la première et la deuxième, $18,2\mathrm{mm}$ après la douzième, $12,1\mathrm{mm}$ entre la dix-neuvième et la vingtième). La raison : un demi-ton multiplie la fréquence par $2^{1/12}$, donc divise la longueur vibrante par ce même facteur ; les longueurs successives sont dans un rapport constant, pas à différence constante, et une longueur déjà courte se raccourcit d'autant moins.

4) Où l'on pince. Le mode $3$ est absent si son poids est nul : $\sin (3\pi x_p/L)=0$, soit $x_p=L/3=21,6\mathrm{cm}$ du chevalet (ou $2L/3$, c'est-à-dire $21,6\mathrm{cm}$ du sillet). Les modes $6$, $9$… ont alors aussi un nœud au point pincé : tous les multiples de $3$ disparaissent. L'interprétation est simple : en ce point, ces modes ne bougent pas ; un déplacement imposé là ne peut pas les mettre en mouvement.

À $x_p=13,0\mathrm{cm}$, $x_p/L=0,201\approx 1/5$ : le mode $5$ et ses multiples ($10$, $15$…) ont (presque) un nœud au point pincé et manquent (le poids du mode $5$ vaut $4\times 10^{-4}$, contre $0,59$ pour le fondamental). Les poids des quatre premiers modes sont $$\sin \frac{\pi }{5}=0,588;\frac{1}{4}\sin \frac{2\pi }{5}=0,238;\frac{1}{9}\sin \frac{3\pi }{5}=0,106;\frac{1}{16}\sin \frac{4\pi }{5}=0,037,$$ soit, rapportés au fondamental, $1$ ; $0,40$ ; $0,18$ ; $0,06$.

La superposition, qualitativement. Au lâcher, la corde a la forme de deux segments de droite qui se rejoignent en un angle au point pincé. Ce profil n'est aucun mode, mais il est une somme de profils de modes, $\sin (n\pi x/L)$, avec les poids donnés : le fondamental dessine l'allure générale, les harmoniques de plus en plus nombreux dessinent l'angle. Chaque mode vibre ensuite à sa propre fréquence $n{f}_1$ ; le son a la fréquence $f_1$ (la note) et un spectre, les poids des harmoniques, qui fait le timbre. Près du chevalet ($x_p\ll L$), pour les rangs tels que $n{x}_p\ll L$, $\sin (n\pi x_p/L)\approx n\pi x_p/L$ et le poids vaut environ $\frac{\pi x_p}{L}\frac{1}{n}$ : il ne décroît plus qu'en $1/n$, et non plus en $1/n^2$, jusqu'au rang $n\approx L/(2x_p)$, soit $11$ pour $x_p=3\mathrm{cm}$. Les harmoniques élevés pèsent alors relativement plus (le rang $8$ pèse $0,10$ fois le fondamental à $3\mathrm{cm}$, $0,025$ fois à $13\mathrm{cm}$) : le son est plus riche en aigus, plus « métallique ». Pincée en son milieu, au contraire, la corde n'a que des modes impairs, de poids $1$, $1/9$, $1/25$… : un son rond.

Poids des modes (valeur absolue, rapportée au fondamental) pour deux points de pincement : à $13\mathrm{cm}$ du chevalet, les modes $5$ et $10$ manquent ; à $3\mathrm{cm}$, les harmoniques élevés restent forts.

5) Où l'on capte. La sensibilité du micro au mode $n$ est proportionnelle à $\sin (n\pi x_m/L)$.

• Micro chevalet, $x_m/L=0,0617$ : $\sin (0,194)=0,193$ pour le mode $1$, $\sin (1,939)=0,933$ pour le mode $10$ : rapport $4,8$.
• Micro manche, $x_m/L=0,247$ : $\sin (0,776)=0,700$ et $\sin (7,757)=0,995$ : rapport $1,4$.

Près du chevalet, le fondamental bouge à peine (son amplitude y est proportionnelle à $x$), alors que le premier ventre du mode $10$ est à $L/20=3,2\mathrm{cm}$ du chevalet, juste sous le micro : le micro chevalet favorise les harmoniques d'un facteur $3,4$ par rapport au micro manche ($4,84/1,42$), d'où son son « brillant ». Le micro manche, placé presque au quart de la corde ($x_m/L=0,247\approx 1/4$), est presque sur un nœud du mode $4$ ($\sin (4\pi \times 0,247)=0,04$) : il ne capte presque pas le mode $4$ (ni le mode $8$), un « trou » dans le spectre qui contribue à son son plus rond. Le signal d'un mode est le produit de son poids (le geste) et de la sensibilité du micro (la mesure) : pincée à $13\mathrm{cm}$ et écoutée au micro manche, la corde ne donne presque rien aux rangs $4$, $5$, $8$ et $10$.

Profils des modes $1$ et $10$ et positions des deux micros : sous le micro chevalet, le mode $10$ est presque à un ventre, le mode $1$ presque immobile.

Ce que l'exercice installe. La note fixe $c/(2L)$, la tension fixe $c$ : une fréquence, une longueur et une masse linéique donnent la tension d'une corde. Les modes propres sont des ondes stationnaires de fréquences multiples du fondamental, chacun somme de deux ondes progressives opposées. Une vibration réelle est une superposition de modes dont le geste (où l'on pince) et la mesure (où l'on capte) fixent les poids : un mode qui a un nœud au point de pincement ou sous le micro disparaît ; le spectre fait le timbre.