physique des ondes (PSI) · Chapitre 1 · Exercice de TD

Le concert en plein air et ses voisins

Propagation non dispersive : équation de d'Alembert · B. Les ondes sonores dans un fluide · niveau 2

Énoncé

Une sonorisation de concert est posée sur une scène en plein air. On l'assimile à une source ponctuelle placée au sol, qui rayonne de la même façon dans toutes les directions du demi-espace situé au-dessus ; le sol, plan, réfléchit tout le son et n'en absorbe rien. Loin des enceintes, on admet que la surpression est celle d'une onde sphérique, $p (r, t) = \frac{A}{r} cos (ω t - k r),$ où $r$ est la distance à la source et $A$ une constante, et que cette onde est localement plane : son intensité vaut $I = \frac{p _{0}^{2}}{2 Z}$ , avec l'amplitude locale $p_{0} = A / r$ . On mesure $110 dB$ à $10 m$ de la scène. La réglementation française des lieux qui diffusent des sons amplifiés limite le niveau moyen reçu par le public à $102 dB (A)$ sur $15 min$ ; on assimilera ici les $dB (A)$ à des décibels. Un village se trouve à $500 m$ , un autre à $1 km$ . Les amplificateurs consomment quelques kilowatts électriques. Absorption atmosphérique (air à $20^{\circ} C$ et $70 %$ d'humidité) : en plus de la décroissance due à l'étalement, le niveau d'un son baisse de $α$ décibels par kilomètre parcouru, avec

fréquence	$125 Hz$	$1 kHz$	$4 kHz$	$8 kHz$
$α$ ( $dB k m^{- 1}$ )	$0, 3$	$5, 0$	$22, 9$	$76, 6$

La scène, des demi-sphères centrées sur la source (sans échelle), la régie à $30 m$ et le village au loin.

1) En l'absence d'absorption, la puissance sonore qui traverse une demi-sphère de rayon $r$ centrée sur la source ne dépend pas de $r$ . En déduire que $A$ est bien une constante. De combien de décibels le niveau baisse-t-il quand la distance double ?

2) Calculer la puissance acoustique $P$ de la sonorisation et la constante $A$ . Comparer $P$ à la puissance électrique consommée.

3) Calculer le niveau au premier rang, à $5 m$ , et à la régie, à $30 m$ . À quelle distance minimale de la scène faut-il tenir le public pour respecter $102 dB$ ?

4) Calculer le niveau aux deux villages sans absorption. On considère ensuite séparément quatre bandes de fréquences, qui portent chacune à elles seules $110 dB$ à $10 m$ : calculer, pour chacune, l'atténuation supplémentaire entre $10 m$ et $500 m$ et le niveau au premier village. À quelle distance chaque bande tombe-t-elle à $40 dB$ , le niveau d'une campagne calme la nuit ? Comparer à la distance obtenue sans absorption.

5) Pourquoi, de loin, n'entend-on d'un concert que les basses ?

Corrigé

La stratégie. L'énergie qui sort de la source traverse toutes les demi-sphères qui l'entourent : à puissance fixée, l'intensité décroît comme $1/ r^{2}$ , l'amplitude comme $1/ r$ . Un niveau mesuré donne alors une puissance, et une puissance donne le niveau partout. L'absorption retire ensuite, à chaque kilomètre, un nombre fixe de décibels, qui dépend de la fréquence.

1) Pourquoi $1/ r$ . L'onde étant localement plane et dirigée selon le rayon, la puissance moyenne qui traverse la demi-sphère de rayon $r$ (aire $2 π r^{2}$ ) vaut $P = I (r) \times 2 π r^{2} = \frac{p _{0} ( r ) ^{2}}{2 Z} 2 π r^{2} .$ Sans absorption, l'énergie qui traverse une demi-sphère traverse ensuite toutes les suivantes : $P$ ne dépend pas de $r$ , donc $r p_{0} (r)$ non plus. Avec $p_{0} = A / r$ , c'est dire que $A$ est une constante : le facteur $1/ r$ de l'onde sphérique est imposé par la conservation de l'énergie. Le niveau vaut alors $L (r) = L (r_{1}) - 20 lo g (r / r_{1})$ : doubler la distance retire $20 lo g 2 = 6, 0 dB$ (l'intensité est divisée par $4$ ).

2) La puissance. À $10 m$ , $I = I_{0} 1 0^{11} = 0, 10 W m^{- 2}$ , d'où $P = 0, 10 \times 2 π \times 1 0^{2} = 62, 8 W,$ et l'amplitude de la surpression à $10 m$ donne la constante $A$ : $p_{0} = 2 Z I = 2 \times 413 \times 0, 10 = 9, 09 Pa, A = p_{0} r = 90, 9 Pa m .$ Soixante watts acoustiques seulement, pour quelques kilowatts électriques : le rendement d'un haut-parleur est de l'ordre du pour cent, le reste chauffe les bobines et les amplificateurs. Soixante watts suffisent pourtant à assourdir : l'oreille est un détecteur de puissances infimes.

3) Le public. $L (5 m) = 110 + 20 lo g 2 = 116, 0 dB$ au premier rang, $L (30 m) = 110 - 20 lo g 3 = 100, 5 dB$ à la régie. Le niveau vaut $102 dB$ pour $20 lo g (r /10) = 8$ , soit $r = 10 \times 1 0^{8/20} = 25, 1 m :$ le public doit se tenir à plus de $25 m$ des enceintes. En pratique, on suspend des enceintes plus haut et plus près du public, pour que les distances varient moins d'un spectateur à l'autre, et l'on règle le niveau à la régie, à quelques décibels près de la limite. Le modèle de source ponctuelle ne vaut d'ailleurs qu'à une distance grande devant la taille du dispositif, qui fait plusieurs mètres : au premier rang, il ne donne qu'un ordre de grandeur.

4) Les villages. Sans absorption, $L (500 m) = 110 - 20 lo g 50 = 76, 0 dB$ et $L (1 km) = 110 - 20 lo g 100 = 70, 0 dB$ : le niveau d'une rue animée, la nuit, dans le village. Avec l'absorption, une bande qui porte $110 dB$ à $10 m$ a le niveau $L (r) = 110 - 20 lo g \frac{r}{10 m} - α (r - 10 m) .$ Entre $10 m$ et $500 m$ , elle parcourt $0, 49 km$ :

bande	$125 Hz$	$1 kHz$	$4 kHz$	$8 kHz$
atténuation supplémentaire à $500 m$	$0, 15 dB$	$2, 5 dB$	$11, 2 dB$	$37, 5 dB$
niveau à $500 m$	$75, 9 dB$	$73, 6 dB$	$64, 8 dB$	$38, 5 dB$
distance où $L = 40 dB$	$17 km$	$3, 7 km$	$1, 2 km$	$0, 48 km$

Sans absorption, il faudrait $20 lo g (r /10 m) = 70$ , soit $r = 10 m \times 1 0^{70/20} = 31, 6 km$ . Les distances à $40 dB$ avec absorption se trouvent en résolvant numériquement l'équation $L (r) = 40$ (par essais successifs) : à $125 Hz$ , l'absorption réduit la portée de moitié environ ( $17, 4 km$ au lieu de $31, 6$ ), à $4 kHz$ elle la divise par $25$ ( $1, 24 km$ ).

Niveau d'une bande qui porte $110 dB$ à $10 m$ , en fonction de la distance (échelle logarithmique) ; droites horizontales à $102 dB$ et $40 dB$ . Sans absorption, la décroissance est une droite de pente $- 20 dB$ par décade.

5) Pourquoi les basses. L'étalement géométrique est le même à toutes les fréquences ; l'absorption, au contraire, croît très vite avec la fréquence (de $0, 3$ à $77 dB k m^{- 1}$ entre $125 Hz$ et $8 kHz$ ) : au-delà du kilomètre, les aigus sont effacés, les basses arrivent presque intactes. S'y ajoutent deux effets : la puissance d'un concert est concentrée dans les basses, et les grandes longueurs d'onde ( $2, 7 m$ à $125 Hz$ ) contournent les bâtiments et les reliefs, que les aigus ( $4, 3 cm$ à $8 kHz$ ) ne franchissent pas. De loin, un concert n'est plus qu'un grondement. Les gradients de vent et de température, qui courbent les rayons sonores (la nuit, l'air froid près du sol renvoie le son vers le bas), peuvent encore modifier ces portées de plusieurs décibels.

Ce que l'exercice installe. La décroissance en $1/ r$ de l'amplitude d'une onde sphérique vient de la conservation du flux d'énergie à travers des surfaces de plus en plus grandes ( $- 6 dB$ par doublement de distance) ; un niveau mesuré donne une puissance, une puissance donne un niveau partout. Une sonorisation ne rayonne que quelques dizaines de watts acoustiques. À grande distance, l'absorption, qui retire un nombre de décibels proportionnel à la distance et croît avec la fréquence, fait le tri : les basses portent, les aigus s'éteignent.

100 % gratuit

La suite du chapitre est sur Adloun

Exercice suivant et tuteur

Sans compte : le cours, le premier QCM et 2 minutes de podcast et de vidéo. Exercices et tuteur : inscription gratuite en 30 secondes, sans carte bancaire.

Le cours du chapitre · Tous les exercices du chapitre

Exercice suivant et tuteur →