Vérifier qu'une fonction est solution — exercice corrigé de physique des ondes (PSI) (chapitre 1)

Vérifier qu'une fonction est solution

Propagation non dispersive : équation de d'Alembert · niveau 2

Énoncé

Montrer que $s (x, t) = s_{0} e^{- (x - c t)^{2} / a^{2}}$ (gaussienne se propageant) est solution de l'équation de d'Alembert. Interpréter.

Corrigé

Posons $u = x - c t$ ; alors $s = s_{0} e^{- u^{2} / a^{2}}$ avec $\frac{\partial u}{\partial x} = 1$ et $\frac{\partial u}{\partial t} = - c$ . On a $\frac{\partial s}{\partial x} = s^{'} (u)$ et $\frac{\partial ^{2} s}{\partial x ^{2}} = s^{''} (u)$ ; de même $\frac{\partial s}{\partial t} = - c s^{'} (u)$ et $\frac{\partial ^{2} s}{\partial t ^{2}} = c^{2} s^{''} (u)$ . Donc $\frac{\partial ^{2} s}{\partial x ^{2}} = s^{''} (u)$ et $\frac{1}{c ^{2}} \frac{\partial ^{2} s}{\partial t ^{2}} = s^{''} (u)$ : l'équation est vérifiée pour toute fonction de $u = x - c t$ . La gaussienne se translate sans déformation à la vitesse $c$ (milieu non dispersif).