physique des ondes (PSI) · Chapitre 3 · Exercice de TD

L'échographie : pourquoi du gel, et ce que racontent les échos

Interfaces : réflexion, transmission et pression de radiation · D. Acoustique : interface entre deux fluides · niveau 2

Énoncé

Une sonde d'échographie émet dans le corps, en incidence normale, de brèves impulsions ultrasonores de fréquence $f = 3, 5 MHz$ , de deux périodes chacune, et reçoit les échos renvoyés par les interfaces entre tissus. Dans tous les tissus mous, la célérité vaut $c = 1540 m s^{- 1}$ . On néglige l'absorption dans les tissus mous. Impédances acoustiques, en $MRayl$ :

milieu	$Z$ ( $MRayl$ )
air	$4, 13 \times 1 0^{- 4}$
gel	$1, 52$
peau (tissus mous)	$1, 63$
graisse	$1, 38$
muscle	$1, 70$
os cortical	$7, 80$

On examine un membre : sous la peau (épaisseur $2 mm$ ), une couche de graisse jusqu'à $1, 5 cm$ de profondeur, puis du muscle jusqu'à un os situé à $5, 0 cm$ de la surface. L'os cortical atténue fortement les ultrasons : environ $20 dB$ par centimètre et par mégahertz. Le gel a une célérité de $1500 m s^{- 1}$ et l'on en étale une couche d'environ $1 mm$ . Les coefficients en puissance entre deux milieux d'impédances $Z_{1}$ et $Z_{2}$ sont ceux du cours : $R = (\frac{Z _{2} - Z _{1}}{Z _{1} + Z _{2}})^{2}$ , $T = \frac{4 Z _{1} Z _{2}}{( Z _{1} + Z _{2} ) ^{2}}$ .

Coupe schématique (épaisseurs non respectées).

1) La sonde est posée à sec : une fine lame d'air la sépare de la peau. Calculer la fraction de la puissance transmise de l'air à la peau, puis celle qui reviendrait, par cette seule interface, après un aller et retour ; l'exprimer en décibels. Même calcul avec du gel entre la sonde et la peau.

2) Calculer la fraction de la puissance réfléchie par l'interface graisse-muscle, puis par l'interface muscle-os. L'écho de l'os traverse à l'aller et au retour les interfaces peau-graisse et graisse-muscle : quelle fraction de la puissance entrée dans la peau revient-il à la sonde ? Pourquoi l'échographiste ne voit-il rien derrière un os (« cône d'ombre ») ?

3) Un écho revient $65 μ s$ après l'émission : à quelle profondeur est l'interface qui l'a renvoyé ? Calculer les instants d'arrivée et les amplitudes relatives des échos en surpression ; tracer l'allure du signal reçu. Quelle est la durée d'une impulsion, sa longueur dans les tissus, et la plus petite distance entre deux interfaces dont les échos ne se chevauchent pas ?

4) Une notice affirme que le gel est une « couche d'adaptation quart d'onde ». Comparer son épaisseur à la longueur d'onde dans le gel et son impédance à celle de la peau. Quelle impédance devrait avoir une couche quart d'onde qui adapte une céramique de sonde d'impédance $34 MRayl$ aux tissus (on admet que cette impédance est la moyenne géométrique des deux impédances à adapter) ? Conclure sur le rôle du gel.

Corrigé

La stratégie. Chaque interface prélève sa part, et l'on suit l'onde : une puissance qui revient a traversé deux fois chaque interface au-dessus de celle qui l'a réfléchie, et l'on multiplie les coefficients. Le temps de vol, lui, donne la profondeur.

1) La lame d'air. De l'air ( $Z_{1} = 4, 13 \times 1 0^{- 4} MRayl$ ) à la peau ( $Z_{2} = 1, 63 MRayl$ ) : $T = \frac{4 \times 4 , 13 \times 1 0 ^{- 4} \times 1 , 63}{( 1 , 63 + 4 , 13 \times 1 0 ^{- 4} ) ^{2}} = 1, 01 \times 1 0^{- 3} .$ Le retour traverse l'interface dans l'autre sens, avec le même $T$ : la fraction qui revient vaut $T^{2} = 1, 03 \times 1 0^{- 6}$ , soit $- 60 dB$ , pour cette seule interface (celle qui sépare la sonde de l'air ferait encore pire). Toute l'image est noyée dans le bruit. Avec du gel ( $Z_{1} = 1, 52 MRayl$ ) : $T = \frac{4 \times 1 , 52 \times 1 , 63}{( 1 , 52 + 1 , 63 ) ^{2}} = 0, 9988, T^{2} = 0, 9976 :$ l'interface gel-peau a pratiquement disparu ( $R = 1, 2 \times 1 0^{- 3}$ ).

2) Les échos des tissus. Graisse-muscle : $R = (\frac{1 , 70 - 1 , 38}{1 , 70 + 1 , 38})^{2} = 1, 08 \times 1 0^{- 2},$ soit $1, 1 %$ : un écho faible, mais bien visible ; $98, 9 %$ continuent. Muscle-os : $R = (\frac{7 , 80 - 1 , 70}{7 , 80 + 1 , 70})^{2} = 0, 412, T = 0, 588.$ Peau-graisse : $R = (\frac{1 , 63 - 1 , 38}{3 , 01})^{2} = 6, 9 \times 1 0^{- 3}$ , $T = 0, 9931$ . L'écho de l'os revient donc avec la fraction $T_{p g}^{2} T_{g m}^{2} R_{m o} = 0, 993 1^{2} \times 0, 989 2^{2} \times 0, 412 = 0, 398 \approx 0, 40 :$ les interfaces des tissus mous, de faible contraste, laissent presque tout passer ; l'os, de contraste $4, 6$ avec le muscle, renvoie $41 %$ . Derrière l'os, deux effets se cumulent : seuls $59 %$ y entrent, puis l'os absorbe $20 \times 3, 5 = 70 dB$ par centimètre ; après l'aller et le retour dans un demi-centimètre d'os, il reste $1 0^{- 7}$ de ce qui y est entré. Rien ne revient de derrière : c'est le cône d'ombre, qui signe d'ailleurs la présence d'un os ou d'un calcul.

3) Temps de vol et résolution. L'impulsion fait l'aller et le retour à la célérité $c$ : une interface à la profondeur $d$ renvoie son écho à $t = 2 d / c$ , d'où $d = \frac{c t}{2} = \frac{1 540 \times 65 \times 1 0 ^{- 6}}{2} = 5, 0 \times 1 0^{- 2} m = 5, 0 cm :$ c'est l'os. En surpression, l'écho d'une interface vaut $r_{p} = \frac{Z _{2} - Z _{1}}{Z _{1} + Z _{2}}$ fois l'onde qui l'atteint, et chaque traversée multiplie par $t_{p} = \frac{2 Z _{2}}{Z _{1} + Z _{2}}$ . Relativement à l'onde entrée dans la peau :

interface	profondeur	instant	amplitude relative de l'écho
peau-graisse	$2 mm$	$2, 6 μ s$	$r_{p} = - 0, 083$
graisse-muscle	$1, 5 cm$	$19, 5 μ s$	$t_{p} r_{p} t_{p} = + 0, 103$
muscle-os	$5, 0 cm$	$64, 9 μ s$	$+ 0, 631$

(Le carré de $0, 631$ redonne bien $0, 398$ : l'écho revient dans le milieu d'où l'onde est partie, et chaque traversée aller et retour d'une interface multiplie l'amplitude par $t_{p} (1 \to 2) t_{p} (2 \to 1) = \frac{4 Z _{1} Z _{2}}{( Z _{1} + Z _{2} ) ^{2}} = T$ .) Le premier écho est inversé : la graisse est moins raide que la peau.

Signal reçu (amplitudes des échos en surpression) ; chaque écho dure en réalité $0, 57 μ s$ . En pratique, l'appareil compense l'absorption par un gain qui croît avec le temps.

L'impulsion dure deux périodes, $τ = 2/ f = 0, 57 μ s$ , et occupe dans les tissus la longueur $c τ = 0, 88 mm$ . Deux interfaces distantes de $Δ d$ renvoient deux échos décalés de $2Δ d / c$ ; ils ne se chevauchent pas si $2Δ d / c > τ$ , soit $Δ d > \frac{c τ}{2} = 0, 44 mm .$ C'est la résolution en profondeur : on l'améliore en raccourcissant l'impulsion, donc en montant en fréquence, au prix d'une absorption plus forte (on examine la peau à $15 MHz$ , l'abdomen à $3, 5 MHz$ ).

4) Le gel n'est pas une couche quart d'onde. Dans le gel, $λ = \frac{1 500}{3 , 5 \times 1 0 ^{6}} = 0, 43 mm$ : un quart d'onde vaudrait $0, 11 mm$ , alors que la couche étalée à la main fait environ $1 mm$ , soit $2, 3$ longueurs d'onde, et une épaisseur que personne ne contrôle. Son impédance, $1, 52 MRayl$ , est égale à $7 %$ près à celle de la peau ; une couche d'adaptation entre la céramique et les tissus devrait avoir $Z = 34 \times 1, 63 = 7, 4 MRayl,$ cinq fois plus. Le gel ne fait pas une adaptation : il supprime une interface. Il chasse l'air, qui imposerait un contraste de $4000$ et $- 60 dB$ à l'aller-retour, et le remplace par un milieu presque identique à la peau. La vraie couche quart d'onde existe, mais elle est collée sur la céramique, à l'intérieur de la sonde (problème de fin de séance).

Ce que l'exercice installe. Une image échographique est une carte des contrastes d'impédance : les tissus mous renvoient quelques pour-cent, l'os presque la moitié, l'air presque tout. À l'aller et au retour, les transmissions se multiplient, et une interface de contraste énorme ( $- 60 dB$ ) aveugle tout l'appareil. Le temps de vol donne la profondeur, $d = c t /2$ , et la durée de l'impulsion la résolution, $c τ /2$ . Un milieu d'impédance voisine supprime une interface ; il ne l'adapte pas.

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