physique des ondes (PSI) · Chapitre 3 · Exercice de TD

Problème : la couche antireflet quart d'onde

Interfaces : réflexion, transmission et pression de radiation · E. Adaptation d'impédance · niveau 3 (difficile)

Énoncé

Un objectif photographique compte douze surfaces séparant l'air du verre ; chacune, non traitée, renvoie quelques pour-cent de la lumière, qui manquent à l'image et reviennent en reflets parasites (« images fantômes »). On dépose sur le verre, d'indice $n_{s} = 1, 52$ , une couche mince de fluorure de magnésium $Mg F_{2}$ , d'indice $n_{1} = 1, 38$ (le plus bas des matériaux durables qu'on sait déposer), d'épaisseur $e$ . On étudie la lumière de longueur d'onde dans le vide $λ$ , arrivant de l'air en incidence normale, avec $λ_{0} = 550 nm$ au milieu du spectre visible. L'air occupe $x < 0$ , la couche $0 < x < e$ , le verre $x > e$ (on ne s'occupe pas de l'autre face de la lentille).

Données. Comme pour une interface unique : dans un milieu transparent d'indice $n$ , une onde plane progressive harmonique a la structure de l'onde dans le vide avec $B = \frac{n u \land E}{c}$ , et l'on admet la continuité des composantes tangentielles de $E$ et de $B$ à chaque interface. Dans la couche, le champ est la superposition d'une onde qui avance et d'une onde qui revient. Le coefficient de réflexion en champ électrique d'une interface entre les milieux d'indices $n_{a}$ et $n_{b}$ , pour une onde venue de $a$ , est $r_{ab} = \frac{n _{a} - n _{b}}{n _{a} + n _{b}}$ ; on note $r_{01}$ celui de l'interface air-couche et $r_{12}$ celui de l'interface couche-verre. On admet enfin que le coefficient de réflexion de l'ensemble, en $x = 0$ , vaut pour toute longueur d'onde $r (λ) = \frac{r _{01} + r _{12} e ^{- 2 j δ}}{1 + r _{01} r _{12} e ^{- 2 j δ}}, δ = \frac{2 π n _{1} e}{λ} .$ Pour la dernière question : une sonde d'échographie émet à $f = 3, 5 MHz$ par une céramique piézoélectrique d'impédance acoustique $Z_{p} = 34 MRayl$ , au contact de tissus d'impédance $Z_{t} = 1, 63 MRayl$ ; on peut coller sur la céramique une couche d'un composite (résine chargée de poudre) dans lequel le son va à $c_{m} = 2500 m s^{- 1}$ .

1) Première idée : deux réflexions qui s'annulent. Les réflexions étant faibles, on ne garde que l'onde réfléchie par la face avant de la couche et celle réfléchie, une seule fois, par sa face arrière, en confondant les coefficients de transmission avec $1$ . Calculer le retard de phase de la seconde sur la première à la longueur d'onde $λ_{0}$ , et montrer qu'il vaut $π$ pour $e = \frac{λ _{0}}{4 n _{1}}$ . À quelle condition sur $n_{1}$ les deux ondes ont-elles alors la même amplitude ? Avec le $Mg F_{2}$ , estimer la fraction réfléchie de la puissance.

2) Le calcul exact. On garde un indice $n_{0}$ quelconque pour le premier milieu (il vaut $1$ pour l'air). En $x = 0$ , l'onde incidente a l'amplitude $E_{0}$ et l'onde réfléchie $r E_{0}$ ; dans la couche, $E = (A e^{- j k_{1} x} + B e^{j k_{1} x}) e^{j ω t}$ avec $k_{1} = n_{1} ω / c$ ; dans le verre, l'onde transmise a l'amplitude $t E_{0}$ en $x = e$ . Écrire les quatre conditions de continuité en $x = 0$ et en $x = e$ . On prend $k_{1} e = π /2$ : montrer, en éliminant $A$ , $B$ et $t$ , que $\frac{1 + r}{1 - r} = \frac{n _{0} n _{s}}{n _{1}^{2}}, puis r = \frac{n _{0} n _{s} - n _{1}^{2}}{n _{0} n _{s} + n _{1}^{2}} .$ Quand la réflexion est-elle nulle ? Comparer à la première idée.

3) Les nombres. Calculer la fraction réfléchie par le verre nu, par le verre traité au $Mg F_{2}$ , l'épaisseur de la couche, et l'indice qu'il faudrait pour annuler la réflexion à $λ_{0}$ .

4) Hors de $λ_{0}$ . Les coefficients $r_{01}$ et $r_{12}$ étant réels, montrer que $R (λ) = ∣ r ∣^{2} = \frac{r _{01}^{2} + r _{12}^{2} + 2 r _{01} r _{12} cos 2 δ}{1 + r _{01}^{2} r _{12}^{2} + 2 r _{01} r _{12} cos 2 δ} .$ Calculer $R$ à $400$ , $550$ et $700 nm$ pour la couche de $Mg F_{2}$ , tracer $R (λ)$ et expliquer la teinte des reflets d'un verre traité.

5) L'objectif à douze surfaces. En négligeant les réflexions multiples, calculer la fraction de la lumière transmise par l'objectif sans traitement, puis avec toutes ses surfaces traitées.

6) La sonde d'échographie. Calculer la fraction de la puissance transmise directement de la céramique aux tissus. Montrer que les conditions acoustiques à une interface et la relation $p = \pm Z v$ ont la forme des conditions sur $E$ et $B$ et de la relation $B = \pm n E / c$ , à condition de faire correspondre $p$ à $E$ , $v$ à $B$ et $1/ Z$ à $n$ (à un facteur constant près). En déduire l'impédance $Z_{m}$ et l'épaisseur de la couche d'adaptation qui supprime toute réflexion à $3, 5 MHz$ . La comparer au gel que l'on étale sur la peau.

7) Le résultat. Énoncer le résultat établi.

Corrigé

La stratégie. On commence par l'image simple de deux réflexions qui interfèrent, qui donne la bonne épaisseur et le bon indice ; puis on fait le calcul exact, qui n'emploie que les continuités déjà écrites pour une interface, appliquées deux fois. Le choix $k_{1} e = π /2$ simplifie tout : les exponentielles valent $\pm j$ .

1) Deux réflexions en opposition. L'onde réfléchie par la face arrière a parcouru en plus l'aller et le retour dans la couche, la distance $2 e$ à la célérité $c / n_{1}$ : son retard de phase vaut $Δ φ = k_{1} \cdot 2 e = \frac{2 π}{λ _{0}} 2 n_{1} e,$ et $Δ φ = π$ pour $2 n_{1} e = λ_{0} /2$ , soit $e = \frac{λ _{0}}{4 n _{1}}$ : la couche a l'épaisseur d'un quart de la longueur d'onde dans la couche, $λ_{0} / n_{1}$ . Les deux ondes sont alors en opposition de phase ; elles s'annulent si leurs amplitudes $∣ r_{01} ∣$ et $∣ r_{12} ∣$ sont égales. Les deux coefficients étant négatifs (on va chaque fois vers un milieu plus réfringent), $\frac{1 - n _{1}}{1 + n _{1}} = \frac{n _{1} - n _{s}}{n _{1} + n _{s}} ⟺ n_{1}^{2} = n_{s},$ après développement : $(1 - n_{1}) (n_{1} + n_{s}) = (n_{1} - n_{s}) (1 + n_{1})$ donne $2 n_{s} = 2 n_{1}^{2}$ . Avec le $Mg F_{2}$ : $r_{01} = \frac{1 - 1 , 38}{2 , 38} = - 0, 160$ , $r_{12} = \frac{1 , 38 - 1 , 52}{2 , 90} = - 0, 048$ ; l'onde réfléchie totale vaut à peu près $r_{01} - r_{12} = - 0, 111$ , et $R \approx (r_{01} - r_{12})^{2} = 0, 0124.$

2) Le calcul exact. Les champs magnétiques valent $\pm \frac{n}{c}$ fois les champs électriques, avec le signe moins pour les ondes qui reviennent. En $x = 0$ (le facteur $e^{j ω t}$ et $E_{0}$ omis, les amplitudes étant rapportées à $E_{0}$ ) : $(E) 1 + r = A + B, (B) n_{0} (1 - r) = n_{1} (A - B) .$ En $x = e$ , avec $φ = k_{1} e$ : $(E) A e^{- j φ} + B e^{j φ} = t, (B) n_{1} (A e^{- j φ} - B e^{j φ}) = n_{s} t .$ Pour $φ = π /2$ , $e^{- j φ} = - j$ et $e^{j φ} = j$ : les deux conditions en $x = e$ deviennent $- j (A - B) = t$ et $- j n_{1} (A + B) = n_{s} t$ , soit $A - B = j t, A + B = j \frac{n _{s}}{n _{1}} t .$ On reporte dans les conditions en $x = 0$ et l'on fait le quotient, où $t$ disparaît : $\frac{1 + r}{1 - r} = \frac{A + B}{\frac{n _{1}}{n _{0}} ( A - B )} = \frac{n _{0}}{n _{1}} \cdot \frac{j n _{s} t / n _{1}}{j t} = \frac{n _{0} n _{s}}{n _{1}^{2}},$ $r = \frac{n _{0} n _{s} - n _{1}^{2}}{n _{0} n _{s} + n _{1}^{2}}, R = (\frac{n _{0} n _{s} - n _{1}^{2}}{n _{0} n _{s} + n _{1}^{2}})^{2} .$ La réflexion est nulle pour $n_{1} = n_{0} n_{s}$ , exactement, réflexions multiples comprises : la première idée avait donné la bonne condition. Tout se passe comme si le verre, vu à travers la lame quart d'onde, avait l'indice apparent $n_{1}^{2} / n_{s}$ ; la lame « transforme » l'indice du verre, et elle l'adapte à l'air quand $n_{1}^{2} / n_{s} = n_{0}$ .

3) Les nombres. Verre nu : $R = (\frac{1 - 1 , 52}{1 + 1 , 52})^{2} = 4, 26 %$ . Traité au $Mg F_{2}$ : $R = (\frac{1 , 52 - 1 , 3 8 ^{2}}{1 , 52 + 1 , 3 8 ^{2}})^{2} = (\frac{- 0 , 3844}{3 , 4244})^{2} = 1, 26 %,$ à comparer à $1, 24 %$ par la première idée : l'écart, $0, 02 %$ , est la part des réflexions multiples. La réflexion est divisée par $3, 4$ . Épaisseur : $e = \frac{λ _{0}}{4 n _{1}} = \frac{550}{4 \times 1 , 38} = 99, 6 nm .$ L'indice idéal vaudrait $1, 52 = 1, 233$ : aucun matériau durable et facile à déposer n'a un indice aussi bas, d'où le compromis du $Mg F_{2}$ (ou des empilements de plusieurs couches, qui descendent sous $0, 5 %$ ).

4) La teinte des reflets. On pose $z = e^{- 2 j δ}$ , de module $1$ ; avec $a = r_{01}$ et $b = r_{12}$ réels, $∣ a + b z ∣^{2} = a^{2} + b^{2} + 2 ab cos 2 δ$ et $∣ 1 + ab z ∣^{2} = 1 + a^{2} b^{2} + 2 ab cos 2 δ$ , d'où l'expression de $R (λ)$ . À $λ_{0}$ , $δ = π /2$ et $cos 2 δ = - 1$ : on retrouve $\frac{( a - b ) ^{2}}{( 1 - ab ) ^{2}} = 1, 26 %$ . Ailleurs, $n_{1} e = λ_{0} /4 = 137, 5 nm$ et $2 δ = π \frac{λ _{0}}{λ}$ : $R (400 nm) = 2, 2 %, R (550 nm) = 1, 26 %, R (700 nm) = 1, 6 %.$

La couche est réglée au milieu du spectre, dans le vert-jaune ; elle réfléchit davantage le bleu et le rouge, et la lumière résiduelle réfléchie, sans vert, paraît pourpre (magenta) : c'est la teinte des reflets des lunettes et des objectifs traités. Même la couche idéale ne s'annule qu'à $λ_{0}$ : $0, 5 %$ à $700 nm$ , $1, 4 %$ à $400 nm$ .

5) L'objectif. Chaque surface transmet $1 - R$ ; douze surfaces : $(1 - 0, 0426)^{12} = 0, 59 (nu), (1 - 0, 0126)^{12} = 0, 86 (trait e ˊ) .$ Sans traitement, l'objectif perd $41 %$ de la lumière, et cette lumière, renvoyée de surface en surface, voile l'image et forme des images fantômes des sources brillantes ; traité, il n'en perd que $14 %$ . C'est ce qui a rendu possibles les objectifs à nombreuses lentilles, et le traitement, inventé dans les années 1930, est aujourd'hui universel.

6) La sonde d'échographie. Sans couche : $T = \frac{4 Z _{p} Z _{t}}{( Z _{p} + Z _{t} ) ^{2}} = \frac{4 \times 34 \times 1 , 63}{35 , 6 3 ^{2}} = 17, 5 %,$ le reste repart dans la céramique, à l'émission comme à la réception. Les deux problèmes ont la même structure : à une interface, $p$ et $v$ sont continues comme $E$ et $B$ ; pour chaque onde, $v = \pm p / Z$ comme $B = \pm \frac{n}{c} E$ . Tous les calculs de la question 2) se transposent en remplaçant $E$ par $p$ , $B$ par $v$ et $n / c$ par $1/ Z$ ; la constante $c$ disparaît des rapports. La condition $n_{1}^{2} = n_{0} n_{s}$ devient $\frac{1}{Z _{m}^{2}} = \frac{1}{Z _{p} Z _{t}}$ : $Z_{m} = Z_{p} Z_{t} = 34 \times 1, 63 = 7, 4 MRayl,$ pour une couche d'épaisseur un quart de la longueur d'onde dans le composite : $λ_{m} = \frac{c _{m}}{f} = \frac{2 500}{3 , 5 \times 1 0 ^{6}} = 0, 71 mm, e = \frac{λ _{m}}{4} = 0, 18 mm .$ À $3, 5 MHz$ , la transmission passe de $17, 5 %$ à $100 %$ (en ne tenant compte d'aucune absorption) ; le gain est réel aussi à la réception. Une résine chargée de poudre de tungstène ou d'alumine permet d'atteindre ces $7 MRayl$ . C'est la vraie couche quart d'onde de l'échographie : collée sur la céramique, d'épaisseur contrôlée au centième de millimètre, à l'intérieur de la sonde. Le gel, lui, n'a ni l'épaisseur ( $1 mm$ , plus de deux longueurs d'onde) ni l'impédance ( $1, 52 MRayl$ , celle des tissus) d'une couche d'adaptation : il chasse l'air.

7) Le résultat.

	verre nu	$Mg F_{2}$ , $n_{1} = 1, 38$	idéale, $n_{1} = 1, 233$
$R (550 nm)$	$4, 26 %$	$1, 26 %$	$0$
épaisseur	—	$99, 6 nm$	$111, 5 nm$
transmission de 12 surfaces	$59 %$	$86 %$	$100 %$ (à $λ_{0}$ )

Le résultat obtenu — la condition quart d'onde de l'antireflet. Une couche d'indice $n_{1}$ et d'épaisseur $e = \frac{λ _{0}}{4 n _{1}}$ , déposée sur un substrat d'indice $n_{s}$ , réfléchit, à la longueur d'onde $λ_{0}$ et pour une onde venue d'un milieu d'indice $n_{0}$ , la fraction $R = (\frac{n _{0} n _{s} - n _{1}^{2}}{n _{0} n _{s} + n _{1}^{2}})^{2},$ nulle pour $n_{1} = n_{0} n_{s}$ ( $n_{s}$ depuis l'air). Transposée aux impédances, une lame quart d'onde d'impédance $Z_{1} Z_{2}$ adapte deux milieux d'impédances $Z_{1}$ et $Z_{2}$ : toute l'onde passe, à cette fréquence-là.

Ce que l'exercice installe. L'image de deux réflexions en opposition donne l'épaisseur ( $λ /4$ dans la couche) et l'indice ( $n_{0} n_{s}$ ) ; le calcul exact, avec les mêmes continuités écrites sur deux faces, le confirme et chiffre l'écart quand l'indice idéal n'existe pas. L'annulation n'a lieu qu'à une longueur d'onde : d'où les reflets pourpres. Et le même résultat, transposé par $n \leftrightarrow 1/ Z$ , adapte une sonde d'échographie aux tissus : la lame quart d'onde est un adaptateur d'impédance universel.

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