physique des ondes (PSI) · Chapitre 3 · Exercice de TD

Sous l'eau, on n'entend pas la plage ; d'un bateau, on n'entend pas le sonar

Interfaces : réflexion, transmission et pression de radiation · D. Acoustique : interface entre deux fluides · niveau 2

Énoncé

La surface plane d'un lac sépare l'air à $20^{\circ} C$ (impédance $Z_{a} = 413 Pa s m^{- 1}$ ) de l'eau à $20^{\circ} C$ ( $ρ = 998 kg m^{- 3}$ , $c_{e} = 1482 m s^{- 1}$ ). Une onde sonore plane progressive harmonique arrive en incidence normale, d'abord depuis l'air, puis, dans la dernière partie, depuis l'eau. On note $Z_{1}$ l'impédance du milieu d'incidence, $Z_{2}$ celle de l'autre milieu, $x$ l'abscisse normale à la surface, orientée du milieu 1 vers le milieu 2, avec la surface en $x = 0$ . Dans un fluide d'impédance $Z$ , une onde progressive vers les $x$ croissants vérifie $p = Z v$ et une onde progressive vers les $x$ décroissants $p = - Z v$ , où $p$ est la surpression et $v$ la composante de la vitesse sur l'axe $x$ (cours). On définit, en $x = 0$ , les coefficients en surpression $r_{p} = p_{r} / p_{i}$ , $t_{p} = p_{t} / p_{i}$ , en vitesse $r_{v} = v_{r} / v_{i}$ , $t_{v} = v_{t} / v_{i}$ , et les coefficients en puissance $R$ et $T$ , rapports des puissances surfaciques moyennes réfléchie et transmise à la puissance surfacique moyenne incidente.

1) Calculer $Z_{e}$ , l'impédance de l'eau. Justifier physiquement les deux conditions à l'interface : continuité de la surpression et continuité de la vitesse normale.

2) Établir $r_{p}$ , $t_{p}$ , $r_{v}$ , $t_{v}$ en fonction de $Z_{1}$ et $Z_{2}$ . Montrer que $r_{v} = - r_{p}$ et que $1 + r_{p} = t_{p}$ .

3) Le son vient de l'air (un enfant crie sur la plage). Calculer $r_{p}$ , $t_{p}$ , $t_{v}$ . La surpression transmise dans l'eau est presque le double de la surpression incidente : l'eau reçoit-elle donc beaucoup d'énergie ? Établir l'expression de la puissance surfacique moyenne d'une onde progressive en fonction de l'amplitude $p_{0}$ de sa surpression, puis celles de $R$ et de $T$ ; calculer $T$ et l'atténuation $10 lo g_{10} T$ en décibels. Lever le paradoxe. Un cri de niveau $80 dB$ dans l'air, juste au-dessus de l'eau, a dans l'eau, juste sous la surface, une intensité qui correspond à quel niveau (même intensité de référence) ?

4) Le son vient de l'eau (bruit d'hélice ou impulsion d'un sonar). Calculer $r_{p}$ , $t_{p}$ , $t_{v}$ . Montrer que la surface est, du côté de l'eau, un nœud de surpression et un ventre de vitesse de l'onde stationnaire formée par les ondes incidente et réfléchie. Que vaut $T$ ? Qu'entend un pêcheur dans sa barque ?

5) Vérifier $R + T = 1$ dans les deux sens, et interpréter.

Corrigé

La stratégie. On écrit les trois ondes en $x = 0$ , on traduit les deux continuités en deux équations linéaires sur les amplitudes, et l'on résout. Pour passer aux puissances, on n'élève pas un coefficient au carré au hasard : on calcule la puissance surfacique de chaque onde, qui dépend de l'impédance de son milieu.

1) Impédance de l'eau et conditions à l'interface. $Z_{e} = ρ c_{e} = 998 \times 1482 = 1, 479 \times 1 0^{6} Pa s m^{- 1},$ soit $1, 48 MRayl$ , 3 580 fois l'impédance de l'air. Continuité de la surpression : une tranche de l'interface, d'aire $S$ et d'épaisseur tendant vers zéro, a une masse nulle ; la loi de la quantité de mouvement lui donne $(P_{1} - P_{2}) S = m a \to 0$ , donc la pression, et la surpression, est la même des deux côtés. Continuité de la vitesse normale : les deux fluides restent au contact, sans se décoller (il apparaîtrait un vide) ni s'interpénétrer ; la surface se déplace avec eux, à la même vitesse normale des deux côtés.

2) Les quatre coefficients. En $x = 0$ , le milieu 1 porte l'onde incidente et l'onde réfléchie, le milieu 2 l'onde transmise. Continuité de $p$ : $p_{i} + p_{r} = p_{t} ⟹ 1 + r_{p} = t_{p} .$ Continuité de $v$ , avec $v = p / Z_{1}$ pour l'onde incidente, $v = - p / Z_{1}$ pour l'onde réfléchie, qui progresse vers les $x$ décroissants, et $v = p / Z_{2}$ pour l'onde transmise : $\frac{p _{i} - p _{r}}{Z _{1}} = \frac{p _{t}}{Z _{2}} ⟹ Z_{2} (1 - r_{p}) = Z_{1} (1 + r_{p}) .$ D'où $r_{p} = \frac{Z _{2} - Z _{1}}{Z _{1} + Z _{2}}, t_{p} = 1 + r_{p} = \frac{2 Z _{2}}{Z _{1} + Z _{2}} .$ En vitesse : $r_{v} = \frac{- p _{r} / Z _{1}}{p _{i} / Z _{1}} = - r_{p} = \frac{Z _{1} - Z _{2}}{Z _{1} + Z _{2}}$ et $t_{v} = \frac{p _{t} / Z _{2}}{p _{i} / Z _{1}} = \frac{Z _{1}}{Z _{2}} t_{p} = \frac{2 Z _{1}}{Z _{1} + Z _{2}}$ . Le signe de $r_{v}$ est opposé à celui de $r_{p}$ parce que l'onde réfléchie a $p$ et $v$ de signes contraires : on dit toujours de quelle grandeur on parle.

3) Depuis l'air : l'amplitude double, presque rien ne passe. Avec $Z_{1} = Z_{a} = 413$ et $Z_{2} = Z_{e} = 1, 479 \times 1 0^{6} Pa s m^{- 1}$ : $r_{p} = \frac{Z _{e} - Z _{a}}{Z _{e} + Z _{a}} = + 0, 99944, t_{p} = 1, 99944, t_{v} = \frac{2 Z _{a}}{Z _{a} + Z _{e}} = 5, 58 \times 1 0^{- 4} .$ La surpression transmise vaut presque deux fois la surpression incidente, mais la vitesse transmise est près de deux mille fois plus petite que la vitesse incidente : l'eau, 3 580 fois plus « raide » que l'air, est poussée fort et ne bouge presque pas. Or c'est le produit $p v$ qui transporte l'énergie : la puissance surfacique d'une onde progressive est $Π = p v = p^{2} / Z$ , de moyenne $⟨ Π ⟩ = \frac{⟨ p ^{2} ⟩}{Z} = \frac{p _{0}^{2}}{2 Z} .$ L'onde réfléchie est dans le même milieu que l'onde incidente, l'onde transmise dans l'autre : $R = \frac{p _{0 r}^{2} / ( 2 Z _{1} )}{p _{0 i}^{2} / ( 2 Z _{1} )} = r_{p}^{2} = (\frac{Z _{2} - Z _{1}}{Z _{1} + Z _{2}})^{2}, T = \frac{p _{0 t}^{2} / ( 2 Z _{2} )}{p _{0 i}^{2} / ( 2 Z _{1} )} = \frac{Z _{1}}{Z _{2}} t_{p}^{2} = \frac{4 Z _{1} Z _{2}}{( Z _{1} + Z _{2} ) ^{2}} .$ On a aussi $T = t_{p} t_{v}$ : c'est bien le produit effort $\times$ flux qui compte. Numériquement, $T = \frac{4 \times 413 \times 1 , 479 \times 1 0 ^{6}}{( 1 , 479 \times 1 0 ^{6} + 413 ) ^{2}} = 1, 12 \times 1 0^{- 3}, 10 lo g_{10} T = - 29, 5 dB .$ Le paradoxe est levé : un coefficient d'amplitude n'est pas un coefficient d'énergie, et un $t_{p}$ voisin de 2 n'a rien de contraire à la conservation de l'énergie puisque l'eau répond à cette surpression par une vitesse minuscule. Le cri de $80 dB$ donne dans l'eau une intensité $1, 12 \times 1 0^{- 3}$ fois plus faible, soit un niveau de $80 - 29, 5 = 50, 5 dB$ : celui d'une conversation calme, qu'on perçoit à peine sous l'eau, l'oreille étant de plus mal adaptée à ce milieu.

4) Depuis l'eau : un nœud de surpression à la surface. Maintenant $Z_{1} = Z_{e}$ et $Z_{2} = Z_{a}$ : $r_{p} = \frac{Z _{a} - Z _{e}}{Z _{a} + Z _{e}} = - 0, 99944,$ $t_{p} = \frac{2 Z _{a}}{Z _{a} + Z _{e}} = 5, 58 \times 1 0^{- 4}, t_{v} = \frac{2 Z _{e}}{Z _{a} + Z _{e}} = 1, 99944.$ Dans l'eau, en $x < 0$ , la surpression totale s'écrit $p = p_{0} e^{j ω t} (e^{- j k x} + r_{p} e^{j k x})$ ; avec $r_{p} \approx - 1$ , $p \approx - 2 j p_{0} sin (k x) e^{j ω t}$ , nul en $x = 0$ : nœud de surpression. La vitesse, avec $r_{v} = - r_{p} \approx + 1$ , vaut $v \approx \frac{2 p _{0}}{Z _{e}} cos (k x) e^{j ω t}$ : ventre de vitesse, la surface monte et descend avec une amplitude double. L'air, très « mou », n'oppose presque aucune surpression au mouvement de la surface. $R$ et $T$ sont symétriques en $Z_{1}$ et $Z_{2}$ : $T = 1, 12 \times 1 0^{- 3}$ , encore $- 29, 5 dB$ . Le pêcheur n'entend presque rien du sonar ; et un sonar de coque n'émet pas pour lui, mais vers le fond.

Amplitude de la surpression de part et d'autre de la surface, en unités de l'amplitude incidente (milieu d'incidence à gauche, $λ_{1}$ sa longueur d'onde). À gauche, l'onde stationnaire a un ventre de surpression sur la surface et l'eau reçoit une surpression double ; à droite, un nœud de surpression, et l'air ne reçoit presque rien.

5) Conservation de l'énergie. $R + T = \frac{( Z _{2} - Z _{1} ) ^{2} + 4 Z _{1} Z _{2}}{( Z _{1} + Z _{2} ) ^{2}} = \frac{( Z _{1} + Z _{2} ) ^{2}}{( Z _{1} + Z _{2} ) ^{2}} = 1,$ et numériquement $R = 0, 998884$ , $T = 0, 001116$ dans les deux sens. L'interface, de masse nulle, ne stocke ni ne dissipe d'énergie. La symétrie de $R$ et $T$ en $Z_{1} \leftrightarrow Z_{2}$ dit qu'un fort contraste d'impédance réfléchit presque tout dans les deux sens ; seul le signe de $r_{p}$ distingue les deux situations.

Ce que l'exercice installe. Deux continuités, de la surpression et de la vitesse normale, donnent tous les coefficients ; ceux de la surpression et de la vitesse ont des réflexions opposées, $r_{v} = - r_{p}$ . L'amplitude transmise peut être grande et la puissance transmise minuscule : seule $T = \frac{4 Z _{1} Z _{2}}{( Z _{1} + Z _{2} ) ^{2}}$ dit ce qui passe. Un fort contraste réfléchit tout, dans les deux sens, avec un ventre de surpression du côté du milieu le moins raide… et un nœud de surpression du côté du plus raide.

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